ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область Z), ограниченную линией

Пусть в области D задана непрерывная функция

Разобьем область D какими-нибудь линиями на частей которые будем называть площадками. Чтобы не вводить новых символов, будем обозначать через не только названия соответствующих площадок, но и их площади. В каждой из площадок (внутри или на границе — безразлично) возьмем точку тогда будем иметь точек . Обозначим через значения функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида

Эта сумма называется интегральной суммой для функции в области

Рис. 292.

Если в области D, то каждое слагаемое можно представить геометрически как объем малого цилиндра, основание которого есть а высота .

Сумма есть сумма объемов указанных элементарных цилиндров, т. е. объем некоторого «ступенчатого» тела (рис. 293).

Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных с помощью функции f{x, у) для данной области

при различных способах разбиения области D на части Будем предполагать, что максимальный диаметр площадок стремится к нулю при При этом оказывается справедливым следующее утверждение, которое мы приводим без доказательства.

Рис. 293.

Рис. 294.

Теорема 1. Если функция непрерывна в замкнутой области D, то существует предел последовательности интегральных сумм (1), если максимальный диаметр площадок стремится к нулю . Этот предел один и тот же для любой последовательности вида (2) т. е. он не зависит от способов разбиения области D на площадки ни от вьфора точки внутри площадки

Этот предел называется двойным интегралом от функции f (х, у) по области D и обозначается так: или

Здесь область D называется областью интегрирования.

Если то двойной интеграл от функции f (х, у) по области D равен объему тела Q, ограниченного поверхностью, образующие которой параллельны оси а направляющей служит граница области D (рис. 294).

Рассмотрим, далее, следующие теоремы о двойном интеграле. Теорема 2. Двойной интеграл от суммы двух функций по области D равен сумме двух двойных интегралов

по области D от каждой из функций в отдельности:

Теорема 3. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интегралол если то

Доказательство обеих этих теорем приводится совершенно так же, как доказательство соответствующих теорем для определенного интеграла (см. т. I, гл. XI, § 3).

Рис. 295.

Теорема 4. Если область D разбита на две области без общих внутренних точек и функция непрерывна во всех точках области D, то

Доказательство. Интегральную сумму по области D можно представить в виде (рис. 295)

где первая сумма содержит слагаемые, соответствующие площадкам области вторая — слагаемые, соответствующие площадкам области . В самом деле, так как двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей является границей площадок Переходя в равенстве (4) к пределу при получим равенство (3). Очевидно, что эта теорема справедлива для любого числа слагаемых.