§ 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов
1. Объем. Как мы видели в § 1, объем V тела, ограниченного поверхностью 
где 
- неотрицательная функция, плоскостью 
и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси 
равен двойному интегралу от функции f(x, у) по области 
Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
Рис. 309.
Рис. 310.
Решение. 
, где D — заштрихованная на рис. 309 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми 
Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем:
Итак, 
куб. единиц.
Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху поверхностью 
а снизу — поверхостью 
причем проекцией обеих поверхностей на плоскость Оху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верхним — поверхность 
второе тело имеет нижним основанием также область D, а верхним — поверхность 
(рис. 310).
Поэтому объем V равен разности двух двойных интегралов:
ИЛИ
Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда 
неотрицательны, но и тогда, когда 
- любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению
Замечание 2. Если в области D функция f(x, у) меняет знак, то разбиваем область на две части: 1) область 
где 
область 
, где 
. Предположим, что области 
таковы, что двойные интегралы по этим областям существуют. Тогда интеграл по области 
будет положителен и будет равен объему тела, лежащего выше плоскости Оху. Интеграл по 
будет отрицателен и по абсолютной величине равен объему тела, лежащего ниже плоскости Оху. Следовательно, интеграл по D будет выражать разность соответствующих объемов.
Рис. 311.
2. Вычисление площади плоской области. Если мы составим интегральную сумму для функции 
по области D, то эта сумма будет равна площади 
при любом способе разбиения. Переходя к пределу в правой части равенства, получим
Если область D правильная (см., например, рис. 296), то площадь выразится двукратным интегралом
Производя интегрирование в скобках, имеем, очевидно,
Пример 2. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми
Решение. Определим точки пересечения данных кривых (рис. 311). В точке пересечения ординаты равны, т. е. 
, отсюда 
. Мы получили две точки пересечения
Следовательно, искомая площадь
