§ 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом

Пример, L Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям при

Решение. Составляем вспомогательное уравнение (34):

или

откуда получается решение

Пример 2. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям при Решение. Составляем вспомогательное уравнение (34):

находим

и разлагаем полученную рациональную дробь на элементарные:

Пользуясь таблицей 1, пишем решение

Пример 3. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальном условиям при

Решение. Пишем вспомогательное уравнение

откуда после некоторых преобразований получим

Следовательно,

Очевидно, что операционным методом можно решать и системы линейных дифференциальных уравнений. Покажем это на примере.

Пример 4. Найти решение системы уравнений

удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Обозначим и напишем систему вспомогательных уравнений

Решая эту систему, находим

По изображениям находим начальные функции, т. е. искомые решения системы,

Аналогично решаются и линейные системы высших порядков.