§ 4. Умножение вероятностей независимых событий

Определение 1. Событие А называется независимым от события если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или не произошло.

Теорема 1. Если случайные события А и В независимы, то вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятностей появления событий А и В:

Доказательство. Проведем доказательствб этой теоремы для схемы . В каждой из двух соответственно находятся шаров. В 1-й урне красных шаров, остальные черные. Во 2-й урне красных, остальные черные. Из каждой урны вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что оба вынутых шара окажутся красными?

Пусть событие А — вынимание, красного шара из 1-й урны. Событие В — вынимание красного шара из 2-й урны. Эти события независимы. Очевидно,

Всего возможных случаев одновременного вынимания по одному шару из каждой урны будет Число случаев, благоприятствующих появлению красных шаров из обеих будет

Рис. 407,

Вероятность совмещения событий А и В будет

Заменяя в этой формуле — их выражениями из (2),

получаем равенство (1). Иллюстрацию этой теоремы см. на рис. 407. Если имеем независимых событий то аналогичным образом можно доказать справедливость равенства

Пример 1. Из двух танков стреляют по одной цели. Вероятность попадания из 1-го танка из Из обоих танков делается одновременно по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будет два попадания в цель.

Решение. Здесь - вероятность двух попаданий — находится по формуле (1):

Пример 2. Безотказная работа прибора определяется безотказной работой каждого из трех узлов, составляющих прибор. Вероятность безотказной работы узлов за некоторый цикл соответственно равна Найти вероятность безотказной работы прибора за указанный цикл.

Решение. По теореме умножения вероятностей (3) будем иметь;

Замечание. Теорема 2 § 3 (формула (4)) о вероятности суммы совместных событий с учетом формулы (1) запишется так:

Пример 3. Решить задачу, сформулированную в примере 5 § 2, пользуясь формулой (4).

Решение. Событие А — попадание в цель из 1-го орудия. Событие В — попадание в цель из 2-го орудия. Очевидно,

Естественно, что мы получили тот же результат, что и раньше.

Пример 4. Вероятность уничтожения цели при одном выстреле равна р. Определить число выстрелов , необходимых для поражения цели с вероятностью, большей или равной

Решение. На основании теорем о сумме и произведении вероятностей можем написать

Решая это неравенство относительно и, - получаем:

Задача с таким аналитическим решением легко формулируется в терминах «схемы урн»,