§ 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний

В настоящем и следующих параграфах мы рассмотрим одну задачу прикладной механики, исследовав и разрешив ее с помощью линейных дифференциальных уравнений.

Пусть груз массы Q покоится на упругой рессоре (рис. 274). Отклонение груза от положения равновесия обозначим через у. Отклонение вниз будем считать положительным, вверх — отрицательным. В положении равновесия вес уравновешивается упругостью пружины. Предположим, что сила, стремящаяся вернуть груз в положение равновесия, — так называемая восстанавливающая сила — пропорциональна отклонению, т. е. равна , где k — некоторая постоянная для данной рессоры величина (так называемая «жесткость рессоры»).

Предположим, что движению груза Q препятствует сила сопротивления, направленная в сторону, противоположную направлению движения, и пропорциональная скорости движения груза относительно нижней точки рессоры, т. е. сила , где (амортизатор). Напишем дифференциальное уравнение

движения груза на рессоре. На основании второго закона Ньютона будем иметь

(здесь - положительные числа). Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Это уравнение можно переписать так:

где обозначено

Предположим, далее, что нижняя точка рессоры совершает вертикальные движения по закону . Это, например, будет иметь место, если нижний конец рессоры прикреплен к катку, который вместе с рессорой и грузом движется по неровности (рис. 275).

Рис. 274,

Рис. 275.

В этом случае восстанавливающая сила будет равна не сила сопротивления будет и вместо уравнения (1) мы получим уравнение

или

где обозначено

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Уравнение (1) называют уравнением свободных колебаний, уравнение (2) — уравнением вынуоюденных колебаний.