§ 2. Необходимый признак сходимости ряда
При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли. данный ряд или расходится. Ниже будут установлены достаточные признаки, на основании которых можно решить этот вопрос. Здесь же мы рассмотрим необходимый признак сходимости ряда, т. е. установим условие, при невыполнении которого ряд расходится.
Теорема. Если ряд сходится, то его 
член стремится к нулю при неограниченном возрастании п.
Доказательство. Пусть ряд
сходится, т. е. имеет место равенство
где s — сумма ряда (т. е. конечное фиксированное число); но тогда имеет место также равенство
так как при 
. Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем
или
Но
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Следствие. Если 
член ряда не стремится к нулю при 
то ряд расходится.
Пример. Ряд
расходится, так как
Подчеркнем, что рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т. е. из того, что 
член стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится, — ряд может и расходиться.
Например, так называемый гармонический ряд
расходятся хотя
Чтобы доказать это, напишем подробнее гармонический ряд
Напишем, далее, вспомогательный ряд
Ряд (2) строится следующим образом: его первый член равен 1, второй равен 1/2, третий и четвертый равны 1/4, члены с пятого по восьмой равны 
члены с девятого по 16-й равны 1/16, члены с 17-го по 32-й равны 1/32 и т. д.
Обозначим через 
сумму 
первых членов гармонического ряда (1) и через сумму 
первых членов ряда (2).
Так как каждый член ряда (1) больше соответствующего члена ряда (2) или равен ему, то для 
Подсчитаем частичные суммы ряда (2) для значений 
, равных 
:
точно так же подсчитывается, что 
и, вообще, 
Таким образом, частичные суммы ряда (2) при достаточно большом k могут быть сделаны больше любого положительного числа, т. е.
но тогда из соотношения (3) следует, что и
т. е. гармонический ряд (1) расходится.
