§ 13. Интеграл Фурье

Пусть функция f(x) определена на бесконечном интервале и абсолютно интегрируема на нем, т. е. существует интеграл

Пусть, далее, функция f(x) такова, что она разлагается в любом интервале в ряд Фурье:

где

Псмавляя в ряд (2) выражения коэффициентов из формул (3), можно написать

или

Исследуем вопрос о том, какой вид примет разложение (4) при переходе к пределу при .

Введем следующие обозначения:

Подставляя в (4), получаем

При первый член в правой части стремится к нулю. Действительно,

При любом фиксированном выражение, стоящее в скобках, есть функция от (см. формулы (5)), принимающего значения от до Без доказательства укажем, что если функция кусочно монотонна на каждом конечном интервале, ограничена на бесконечном интервале и удовлетворяет условию (1), то при формула (6) примет вид

Стоящее справа выражение называется интегралом Фурье для функции f (х). Равенство (7) имеет место для всех точек, где функция непрерывна. В точках разрыва выполняется равенство

Преобразуем интеграл, стоящий в правой части равенства (7), раскрывая

Подставляя это выражение в формулу (7) и вынося за знаки интегралов, где интегрирование совершается по переменной t, получим

Каждый из интегралов стоящих в скобках, существует, так как функция абсолютно интегрируема в интервале а следовательно, абсолютно интегрируемы и функции

Рассмотрим частные случаи формулы (8).

1. Пусть - четная, функция. В этом случае функция четная, а - нечетная и мы получаем

Формула (8). в. этом случае примет вид

2. Пусть нечетная функция. Анализируя характер интегралов в формуле (8) в этом случае, получим

Если функция определена только в интервале то ее можно представить при как формулой (9), так и формулой (10). В первом случае мы ее доопределяем в интервале четным образом, а во втором — нечетным.

Отметим еще раз, что в точках разрыва вместо выражения f (х) в левых частях равенств (9) и (10) следует писать выражение

Вернемся к формуле (8). Интегралы, стоящие в скобках, являются функциями от а. Введем обозначения

Тогда формулу (8) можно переписать так:

Говорят, что формула (11) дает разложение функции f(x) на гармоники с непрерывно меняющейся от 0 до частотой а. Закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты а выражается через функции .

Вернемся к формуле (9). Положим

тогда формула (9) примет вид

Функция F (а) называется косин преобразованием Фурье для функции

Если в, равенстве (12) считать заданной, искомой функцией, то оно является интегральным уравнением для функции Формула (13) дает решение этого уравнения.

На основании формулы (10) можем написать следующие равенства:

Функция называется синус-преобразованием Фурье.

Пример. Пусть

По формуле (12) определяем косинус-преобразование Фурье:

По формуле (14) определяем синус-преобразование Фурье:

По формулам (13) и (15) находим взаимные соотношения: