§ 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении

Докажем далее следующую теорему.

Теорема. Пусть дано дифференциальное уравнение

и Начальное условие

Пусть непрерывны в замкнутой области

Тогда в некотором интервале

существует решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2); при этом решение единственно. Число l будет определено ниже.

Рис. 372.

Доказательство. Заметим, что из того, что непрерывна в замкнутой области D, следует, что существуют такие постоянные , что для всех точек области выполняются соотношения

(Это свойство аналогично свойству, указанному в § 10 гл. II.) Число l в равенстве ( - наименьшее из чисел , т. е.

Применим теорему Лагранжа к функции для двух произвольных точек принадлежащих области

где следовательно, . Поэтому для любых двух точек справедливо неравенство

Вернемся к равенству (4) § 26. Из него получаем с учетом равенств (5), (4), (7)

Итак, функция определенная равенством (4) § 26 на отрезке (4), не выходит из области D.

Перейдем теперь к равенству (5) § 26. Аргументы функции не выходят из области D. Следовательно, можем написать

Методом полной индукции можно доказать, что для любого

если принадлежит интервалу (4).

Докажем теперь, что существует предел

и функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Для доказательства рассмотрим ряд

С общим членом при этом Очевидно, что сумма членов этого ряда равна

Оценим члены ряда (13) по абсолютной величине:

На основании (4), (5) § 26 и (6) находим

(берется знак , если , и знак , если ). Итак,

Аналогично с учетом (16),

Продолжая так и далее, найдем

Таким образом, для интервала функциональный ряд (13) мажорируем. Соответствующий числовой ряд с положительными членами, которые больше абсолютных величин соответствующих членов ряда (13), будет

с общим членом . Этот ряд сходится, что. легко обнаруживается по признаку Даламбера;

Итак, ряд (13) мажорируем, следовательно, он сходится. Так как члены его являются непрерывными. функциями, то он сходится к непрерывной функции Итак,

где — непрерывная функция. Эта функция удовлетворяет начальному условию, так как для всех

Докажем, что полученная функция удовлетворяет уравнению (1). Снова напишем последнее из равенств (6) § 26:

Докажем, что

где определена равенством (20).

Предварительно заметим следующее. Так как ряд (13) мажорируем, то из (20) следует, что для всякого найдется такое , что будет

С учетом (23) на всем интервале (4) можем написать

Но Следовательно,

Из последнего равенства следует равенство (22).

Теперь, переходя в обоих частях равенства . К пределу при получим, что определенная равенством (20), удовлетворяет уравнению

Как указывалось выше, отсюда следует, что найденная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2).

Замечание 1. Пользуясь другими методами доказательства, можно утверждать, что существует решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), если функция непрерывная в области D (теорема Пеано).

Замечание 2. Приемом, аналогичным тому, которым было получено соотношение (18), можно показать, что погрешность при замене решения его приближением дается формулой

Пример. Применим эту оценку для пятого приближения решения уравнения

при начальном условии при

Пусть область D такова:

т. е. . Тогда . Определяем, далее» ,

По формуле (25) получаем

Заметим что оценка (25) довольно грубая. В рассмотренном примере другими методами можно показать, что погрешность в десятки раз меньше.