§ 11. Теорема разложения

Из формулы (36) предыдущего параграфа следует, что изображение решения линейного дифференциального уравнения состоит из двух членов: первый член есть правильная рациональная дробь от , второй член — дробь, числителем которой является изображение правой части уравнения , а знаменатель — многочлен Если ( - рациональная дробь, то второй член будет рациональной дробью. Таким образом, нужно уметь находить начальную функцию, изображением которой является правильная рациональная дробь. Этим вопросом мы и займемся в настоящем параграфе. Пусть - изображение некоторой функции есть правильная рациональная дробь от :

Требуется найти начальную функцию (оригинал). В § 7 гл. X т. I было показано, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы элементарных дробей четырех видов:

III. 1 где корни знаменателя комплексные, т. е.

IV где , корни знаменателя комплексные.

Найдем начальные функции для выписанных элементарных дробей. Для дроби I вида на основании формулы 4 таблицы 1 получаем

Для дроби II вида на основании формул 9 и 4 таблицы 1 получаем

Рассмотрим теперь дробь III вида. Произведем тождественные преобразования:

Обозначая здесь первое и второе слагаемые через М и N соответственно, получим на основании формул 8 и 7 таблицы 1

Таким образом, окончательно

Рассматривать случай элементарной дроби IV вида мы здесь не будем, так как это сопряжено с большими вычислениями. Для некоторых частных случаев мы этот вопрос рассмотрим ниже: В случае необходимости читатель может обратиться к одному из указанных в начале главы курсов.