§ 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с искомыми функциями :

Коэффициенты -постоянные. Введем обозначение:

Это матрица решений или векторное решение системы (1). Далее, определим матрицу производных от решений:

Выпишем матрицу коэффициентов системы дифференциальных уравнений

Пользуясь правилом умножения матриц (см. § 4), систему дифференциальных уравнений (1) можно в матричной форме записать

так:

или коротко на основании правила дифференцирования матриц

Пусть

где а — некоторые числа.

Совокупность решений системы дифференциальных уравнений будем искать в форме (см. формулы (2) § 30 гл. XIII)

Подставляя (8) в (6) и пользуясь правилом умножения матрицы на число и правилом дифференцирования матриц, получаем

откуда

или

Напомним, что в последнем равенстве А — матрица (4), k - число, а — столбцевая матрица (7). Матрицу, стоящую в левой части равенства (10), можно записать так:

где Е — единичная матрица порядка. В развернутом виде равенство (11) перепишется так:

Равенство (11) показывает, что вектор а с помощью матрицы А преобразуется в параллельный ему вектор . Следовательно, вектор а является собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению k (см. § 11).

В скалярной форме равенство (10) записывается как система алгебраических уравнений (см. систему (3) § 30 гл. XIII). Число к должно определяться из уравнения (5) § 30 гл. XIII, которое в матричной форме можно записать так:

т. е. определитель

Пусть все корни уравнения (14) различны:

Для каждого значения из системы (11) определяется матрица значений

(одно из этих значений произвольное). Решение системы (1) в матричной форме, следовательно, запишется так:

где - произвольные постоянные.

В скалярной форме решения даются формулами (6) § 30 гл. XIII.

Пример 1. Записать в матричной форме систему и решение системы линейных дифференциальных уравнений

Решение. Напишем матрицу системы

В матричной форме система уравнений запишется так (см. уравнение (5)):

Составим характеристическое уравнение (14) и найдем его корни:

следовательно, Составляем систему (12) для определения значений для корня

Полагая получаем

Аналогичным образом находим соответствующие корню Получаем Теперь можем написать решение системы в матричной форме (формула )

или в обычной форме

Пример 2. Записать в матричной форме систему и решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Напишем матрицу системы

Следовательно, в матричной форме система уравнений записывается так (см. уравнение (5)):

Составим характеристическое уравнение (14) и найдем его корни:

следовательно,

Определим соответствующие корню из системы уравнений (12):

находим

Определим соответствующие корню из системы

находим

Определяем соответствующие корню из системы

находим

Напишем в матричной форме решение системы (см. формулу (15))

или в обычной форме