§ 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний
Рассмотрим сначала уравнение свободных колебаний
Напишем соответствующее характеристическое уравнение
и найдем его корни:
1) Пусть 
Тогда корни и 
действительные отрицательные числа. Общее решение выражается через показательные функции:
Из этой формулы следует, что отклонение у при любых начальных условиях асимптотически стремится к нулю, если 
. В данном случае колебаний не будет, так как силы сопротивления велики по сравнению с коэффициентом жесткости рессоры 
2) Пусть 
тогда корни 
равны между собой (и равны отрицательному числу 
). Поэтому общее решение будет
Здесь отклонение также стремится к нулю при 
однако не так быстро, как в предыдущем случае (благодаря наличию сомножителя 
).
3) Пусть 
т. е. отсутствует сила сопротивления. Уравнение (1) примет вид
Характеристическое уравнение имеет вид 
, а его корни равны 
, где 
Общее решение:
В последней формуле произвольные постоянные 
заменим другими. Именно, введем постоянные 
связанные с 
соотношениями
через 
определяются так:
Подставляя значения 
в формулу (5), будем иметь
или
Колебания в этом случае называются гармоническими. Интегральными кривыми являются синусоиды. Промежуток времени Т, за который аргумент синуса изменяется на 
, называется периодом колебаний; в данном случае 
Частотой колебания называется число колебаний за время 
в данном случае частота равна Р; А — величина наибольшего отклонения от положения равновесия — называется амплитудой колебания; 
называется начальной фазой.
График функции (6) изображен на рис. 276.
Рис. 276.
Рис. 277.
В электротехнических и других дисциплинах широко используют комплексное и векторное изображения гармонических колебаний.
Рассмотрим в комплексной плоскости 
радиус-вектор 
постоянной длины 
Конец вектора А при изменении параметра t (в данном случае t — время) описывает окружность радиуса А с центром в начале координат (рис. 277). Пусть угол 
образованный вектором А и осью Ох, выражается так: 
Величина (5 называется угловой скоростью вращения вектора А. Проекции вектора А на оси 
будут
Выражения (7) суть решения уравнения (4).
Рассмотрим комплексную величину
или
Комплексная величина 
, как это было указано в § 1 гл. VII, изображается вектором А.
Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний (4) можно рассматривать как проекции вектора А на оси 
вращающегося с угловой скоростью 
при начальной фазе 
Пользуясь формулой Эйлера (см. (4) § 5 гл. VII), выражение (8) можно переписать так:
Мнимая и действительная части выражения (9) являются решениями уравнения (4).
Рис. 278.
Выражение (9) называется комплексным решением уравнения (4). Перепишем выражение (9) так:
Выражение 
называют комплексной амплитудой. Обозначим ее через А. Тогда комплексное решение (10) перепишется так:
4) Пусть 
В этом случае корни характеристического уравнения — комплексные числа
где
Общий интеграл имеет вид
или
Здесь в качестве амплитуды приходится рассматривать величину 
зависящую от времени. Так как 
то она стремится
к нулю при 
т. е. здесь мы имеем дело с затухающими колебаниями. График затухающих колебаний изображен на рис. 278.
