§ 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Имеем линейное однородное уравнение второго порядка

где - постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения, достаточно, как было доказано выше, найти два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде

тогда

Подставляя полученные выражения производных в уравнение (1), находим

Так как , то, значит,

Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению (3), то будет решением уравнения (1). Уравнение (3) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1).

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня; обозначим их через . При этом

Возможны следующие случаи:

I. - действительные и притом не равные между собой числа ;

II. - комплексные числа;

III. - действительные равные числа . Рассмотрим каждый случай отдельно.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны: . В этом случае частными решениями будут функции

Эти решения линейно независимы, так как

Следовательно, общий интеграл имеет вид

Пример 1. Дано уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид

Находим корни характеристического уравнения:

Общий интеграл есть

II. Корни характеристического уравнения комплексные. Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим

где

Частные решения можно записать в форме

Это — комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (1) (см. § 4 гл. VII).

Очевидно, что если какая-либо комплексная функция действительного аргумента

удовлетворяет уравнению (1), то этому уравнению удовлетворяют функции

Действительно, подставляя выражение (5) в уравнение (1), будем иметь

или

Но комплексная функция равняется нулю тогда и только тогда, когда равны нулю действительная часть и мнимая часть, т. е.

Мы и доказали, что и являются решениями уравнения.

Перепишем комплексные решения (4) в виде суммы действительной и мнимой части:

По доказанному частными решениями уравнения (1) будут действительные функции

Функции линейно независимы, так как

Следовательно, общее решение уравнения (1) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид

или

где произвольные постоянные.

Важным частным случаем решения (7) является случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые.

Это имеет место тогда, когда в уравнении , и оно имеет вид

Характеристическое уравнение (3) принимает вид

Корни характеристического уравнения

Решение (7) принимает вид

Пример 2. Дано уравнение

Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Построить график.

Решение. 1) Напишем характеристическое уравнение

и найдем его корни

Следовательно, общий интеграл есть

2) Найдем частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, и определим соответствующие значения и . На основании первого условия находим: откуда . Заметив, что из второго условия получаем . Таким образом, искомое частное решение есгь График его показан на рис. 273.

Рис. 273.

Пример 3. Дано уравнение

Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Напишем характеристическое уравнение

Находим его корни:

Общий интеграл есть

Найдем частное решение. Предварительно найдем

Постоянные определяются из начальных условий:

Они равны

Частное решение:

III. Корни характеристического уравнения действительные и равные. В этом случае

Одно частное решение получается на основании предыдущих рассуждений. Нужно найти второе частное решение, линейно независимое с первым (функция тождественно равна и поэтому не может рассматриваться в качестве второго частного решения).

Будем искать второе частное решение в виде

где — неизвестная функция, подлежащая определению. Дифференцируя, находим

Подставляя выражения производных в уравнение (1), получаем

Так как — кратный корень характеристического уравнения, то

Кроме того, или

Следовательно, для того нтобы найти надо решить уравнение или . Интегрируя, получаем . В частности, можно положить тогда . Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять

Это решение линейно независимо с первым, так как

Поэтому общим интегралом будет функция

Пример 4. Дано уравнение

Пишем характеристическое уравнение Находим его корни: Общим интегралом будет