§ 17. Уравнение вида y^(n) = f(x)

Простейшим уравнением порядка является уравнение вида

Найдем общий интеграл этого уравнения.

Интегрируя по левую и правую части и принимая во внимание, что получим

где - любое фиксированное значение постоянная интегрирования.

Интегрируя еще раз, получим

Продолжая далее, получим, наконец (после интегрирований), выражение общего интеграла

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

достаточно положить

Пример I. Найти общий интеграл уравнения

и частиэе решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение.

ИЛИ

Это есть общий интеграл. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения

Из условия находим .

Из условия находим .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Дифференциальные уравнения рассмотренного вида встречаются в теории изгибания балок.

Пример 2. Рассмотрим упругую призматическую балку, изгибающуюся под действием внешних сил, как непрерывно распределенных (вес, нагрузка), так и сосредоточенных. Направим ось Ох горизонтально, по оси балки в ее недеформированном состоянии, ось Оу - вертикально вниз (рис. 270).

Рис. 270.

Каждая сила, действующая на балку (например, нагрузка балки, реакция опор), имеет момент относительно какого-нибудь поперечного сечения балки, равный произведению силы на расстояние точки приложения силы от данного сечения. Сумма моментов всех сил, приложенных к части балки, расположенной по одну сторону от данного сечения, с абсциссой называется изгибающим моментом балки относительно данного сечения. В курсе сопротивления материалов доказывается, что изгибающий момент балки равен где Е — так называемый модуль упругости, зависящий от материала балки; J — момент инерции площади поперечного сечения балки относительно горизонтальной линии, проходящей через центр тяжести площади поперечного сечения; R — радиус кривизны оси изогнутой балки, который выражается формулой (§ 6 гл. VI)

Таким образом, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет

Если считать, что деформации малы и что касательные к оси балки при изгибе [образуют малый угол с осью Ох, то мы можем пренебречь квадратом малой величины и считать

Тогда дифференциальное уравнение изогнутой балки примет вид

а это уравнение есть уравнение вида (1).

Пример 3. Балка наглухо заделана в конце О и подвергается действию сосредоточенной вертикальной силы Р, приложенной к концу балки L на расстоянии от места закрепления (рис. 270). Весом балки пренебрегаем.

Рассмотрим сечение в точке . Изгибающий момент относительно сечения N в данном случае будет равен . Дифференциальное уравнение (2) примет вид

Начальные условия: при прогиб у равен нулю и касательная к изогнутой оси балки совпадает с осью Интегрируя

уравнение, найдем

В частности, из формулы (3) определяется прогиб h на конце балки