§ 11. Непрерывность суммы ряда

Пусть имеем ряд из непрерывных функций

сходящийся на некотором отрезке

В главе мы доказали теорему о том, что сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Для суммы ряда (состоящего из бесконечного числа слагаемых) это свойство не сохраняется. Некоторые функциональные ряды с непрерывными членами имеют в качестве суммы непрерывную функцию, у других функциональных рядов с непрерывными членами сумма является разрывной функцией.

Пример. Рассмотрим ряд

Члены этоо ряда (каждый из них заключен в скобки) суть непрерывные функции при всех значениях Докажем, что этот ряд сходится и его сумма есть разрывная функция.

Найдем сумму первых членов этого ряда: Найдем сумму ряда:

если

если

если , то и поэтому .

Таким образом имеем

Итак, сумма приведенного ряда есть функция разрывная. Ее трафик изображен на рис. 364, где показаны также графики частичных сумм

Рис. 364.

Для мажорируемых рядов справедлива следующая тебрема. Теорема. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Доказательство. Пусть имеем мажорируемый на отрезке ряд непрерывных функций

Представим его сумму в виде

где

а

Возьмем на отрезке произвольное значение аргумента и придадим ему такое приращение чтобы точка лежала тоже на отрезке

Введем обозначения

тогда

откуда

Это неравенство справедливо для любого номера п.

Чтобы доказать непрерывность нужно показать, что при любом наперед заданном и как угодно малом найдется число такое, что при всех будет

Так как данный ряд (1) мажорируемый, то при любом наперед заданном найдется такой номер N, что при всех и в частности при будет выполняться неравенство

при любом из отрезка Значение лежит на отрезке и потому выполняется неравенство

Далее, при выбранном N частичная сумма есть функция непрерывная (сумма конечного числа непрерывных функций) и, следовательно, можно подобрать такое положительное число что для всякого удовлетворяющего условию , выполняется неравенство

На основании, неравенств (2), (3), (3) и (4) получаем

т. е.

а это и означает, что является непрерывной функцией в точке следовательно, в любой точке отрезка

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что если сумма ряда на каком-либо отрезке разрывна, то ряд не мажорируем на этом отрезке. В частности, не мажорируемым (на любом отрезке, содержащем точку т. е. точку разрыва суммы ряда) является ряд, приведенный в примере.

Отметим, наконец, что обратное предложение неверно: существуют ряды, не мажорируемые на отрезке и, однако, сходящиеся на этом отрезке к непрерывной функции. В частности, всякий равномерно сходящийся на отрезке ряд (даже если он не мажорируем) имеет в качестве, суммы непрерывную функцию (конечно, если все члены ряда непрерывны).