§ 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке

Предположим, что функция f(x) кусочно непрерывна на отрезке .

Умножая обе части тождества (3) предыдущего § 8 на f(x) и подводя f(x) под знак интеграла, получим равенство

Вычтем члены последнего равенства из соответствующих членов равенства (2) § 8, получим

Таким образом, сходимость ряда Фурье к значению функции f(x) в данной точке зависит от того, будет ли интеграл, стоящий справа, стремиться к нулю при .

Разобьем последний интеграл на два интеграла:

воспользовавшись тем, что

Разобьем первый из интегралов, стоящих в правой части последнего равенства, на три интеграла:

Положим Так как - ограниченная кусочно непрерывная функция, то - также ограниченная и кусочно непрерывная периодическая функция от а. Следовательно, последний интеграл стремится к нулю при так как он является коэффициентом Фурье от этой функции. Функция

ограничена при и при и

где М — верхняя граница величины . Кроме того, функция является также кусочно непрерывной. Следовательно, на основании формул (5), из § 7 второй и третий интегралы стремятся к нулю при

Таким образом, можно написать

В выражении, стоящем справа, интегрирование производится по промежутку следовательно, интеграл зависит от значений функции только на промежутке от до Таким образом, из последнего равенства следует важное предложение: сходимость рядов. Фурье в данной точке зависит лишь от поведения функции f(х) в как угодно малой окрестности этой точки.

В этом заключается так называемый принцип локализации при исследовании рядов Фурье. Если две функции совпадают в окрестности некоторой точки то их ряды Фурье одновременно либо сходятся, либо расходятся в данной точке.