ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ

§ 1. Определение. Постановка задачи

Функциональный ряд вида

или, более сжато, ряд вида

называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом так как и являются периодическими функциями с периодом

Таким образом,

Поставим следующую задачу.

Дана функция периодическая с периодом При каких условиях для f(x) можно найти тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции?

Эта задача и будет решаться в настоящей главе. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье. Пусть периодическая с периодом функция f(x) такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале , т. е. является суммой этого ряда:

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов ряда (2). Это, например, будет выполняться, если предположить,

что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е. сходится положительный числовой ряд

Тогда ряд (1) мажорируем? и, следовательно, его можно почленно интегрировать в промежутке от до . Используем это для вычисления коэффициента

Проинтегрируем обе части равенства (2) в пределах от до :

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в йрйвой части:

Следовательно,

откуда

Для вычисления остальных коэффициентов ряда нам потребуются некоторые определенные интегралы, которые мы и рассмотрели предварительно.

Если - целые числа, то имеют место следующие равенства; если , то

если же , то

Вычислим, например, первый интеграл из группы (I). Так как

то

Подобным образом можно получить и остальные формулы (I). Интегралы группы (II) вычисляются непосредственно (см. гл. X т. I). Теперь мы можем вычислить коэффициенты ряда (2). Для разыскания коэффициента при каком-либо определенном значении умножим обе части равенства (2) на :

Ряд, получившийся в правой части равенства, мажорируем, так как его члены не превосходят по абсолютной величине членов сходящегося положительного ряда (3). Поэтому его можно почленно интегрировать на любом отрезке.

Проинтегрируем равенство (2) в пределах от до :

Принимая во внимание формулы (II) и (I), видим, что все интегралы в правой части равны нулю, «роме интеграла с коэффициентом

Следовательно,

откуда

Умножая обе части равенства (2) на снова интегрируя от до , найдём

откуда

Коэффициенты, определенные по формулам называются коэффициентами Фурье функции а тригонометрический ряд (1) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f(x).

Возвратимся теперь к вопросу, поставленному нами в начале параграфа: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?

Мы сформулируем здесь теорему, которая даст достаточные условия представимости функции f(x) рядом Фурье.

Определение. Функция f(x) называется кусочно монотонной на отрезке если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо невозрастающая, либо неубывающая.

Из определения следует, что если функция f(x) кусочно монотонная и ограниченная на отрезке , то она может иметь только точки разрыва первого рода. Действительно, если есть точка разрыва функции , то в силу монотонности функции существуют пределы

т. e. точка с есть точка разрыва первого рода (рис. 374).

Сформулируем теперь следующую теорему.

Теорема. Если периодическая функция f(x) с периодом кусочно монотонная и ограниченная на отрезке , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева, т. е. если с точка разрыва функции f(x), то

Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и ее приложениях к конкретным задачам механики и физики (см. гл. XVIII).

Данную теорему мы приводим без доказательства. В § 8—10 будет дано доказательство другого достаточного признака разложимости функции в ряд Фурье, который относится в некотором смысле к более узкому классу функций.