§ 8. Интеграл Дирихле
В этом параграфе мы выведем формулу, выражающую 
частичную сумму ряда Фурье через некоторый интеграл. Эта формула будет нам нужна в следующих параграфах.
Рассмотрим 
частичную сумму ряда. Фурье для периодической функции f(x) с периодом 
где
Подставляя эти выражения в формулу для 
получим 
или, подводя 
под знак интеграла (что возможно, так как 
не зависят от переменной интегрирования
и, следовательно, могут рассматриваться как постоянные), получим
Вынося теперь 
за скобки и заменяя сумму интегралов интегралом от суммы, получим
или
Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках. Пусть
тогда
или
Но
Следовательно,
Таким образом, равенство (1) можно переписать так:
Так как подынтегральная функция является периодической (с периодом 
), то интеграл сохраняет свое значение на любом отрезке интегрирования длины 
Поэтому мы можем написать:
Введем новую переменную а, положив 
Тогда мы получим формулу
Интеграл, стоящий в правой части формулы, называется интегралом Дирихле.
Положим в этой формуле 
тогда 
при 
следовательно, 
при любом 
, и мы получаем тождество
которое потребуется нам в дальнейшем.
