ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Операционное исчисление в настоящее время является одной из важных областей математического анализа. В физике, механике, электротехнике и других науках при решении различных вопросов используются методы операционного исчисления. Особенно широкое применение операционное исчисление находит в современной автоматике и телемеханике. В этой главе (на базе материала предыдущих глав учебника) будут даны основные понятия операционного исчисления и изложены операционные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 1. Начальная функция и ее изображение

Пусть задана функция действительной переменной t, определенная при (иногда мы будем считать, что функция ) определена на бесконечном интервале но при Будем предполагать, что функция кусочно непрерывная, т. е. такая, что в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва 1-го рода (см. § 9 гл. II т. I). Для обеспечения существования некоторых интегралов в бесконечном интервале мы наложим на функцию дополнительное ограничение. Именно, будем предполагать, что существуют постоянные положительные числа М и такие, что

при любом значении t из интервала

Рассмотрим произведение функции на комплексную функцию действительной переменной t, где некоторое комплексное число:

Функция (2) — тоже комплексная функция действительной переменной

Рассмотрим, далее, несобственный интеграл

Покажем, что если функция удовлетворяет условию (1) и то интегралы, стоящие в правой части равенства (3), существуют и сходимость интегралов абсолютная. Оценим сначала первый из этих интегралов:

Аналогичным образом оценивается и второй интеграл. Итак,.интеграл существует. Он определяет некоторую функцию от , которую мы обозначим :

Функция называется лапласовым изображением, или - изображением, или просто изображением функции Функцию называют начальной функцией, или оригиналом. Если есть изображение функции то пишут так:

или

или

Как мы увидим в дальнейшем, смысл введений изображений заключается в том, что с их помощью удастся упростить решение многих задач, в частности, свести решение дифференциальных уравнений к проведению простейших алгебраических операций для нахождения изображения. Зная изображение, можно найти оригинал или по заранее составленным таблицам «оригинал—изображение», или методами, которые изложены ниже. Возникают следующие естественные вопросы.

Пусть дана некоторая функция . Существует ли функция для которой является изображением? Если существует, то единственна ли такая функция? На оба вопроса при определенных предположениях относительно дается положительный ответ. В частности, единственность изображения устанавливается следующей теоремой, которую мы приведем без доказательства:

Теорема единственности. Если две непрерывные функции имеют одно и то же L - изображение , то эти функции тождественно равны.

Эта теорема во всем дальнейшем играет очень важную роль. Действительно, если при решении практической задачи мы каким-то образом определили изображение искомой функции, а потом по изображению нашли начальную функцию, то на основании сформулированной теоремы мы заключаем, что найденная функция есть решение поставленной задачи, и других решений не существует.