§ 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение)

Теорема. Двойной интеграл от непрерывной функции по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по области D, т. е.

Доказательство. Разобьем область D прямыми, параллельными осями координат, на правильных (прямоугольных) областей

На основании свойства 1 (формула (2)) предыдущего параграфа имеем

Каждое из слагаемых, стоящих справа, преобразуем по теореме о среднем для двукратного интеграла:

Тогда равенство (1) примет вид

где - некоторая точка области Справа стоит интегральная сумма для функции по области D. По теореме о существовании двойного интеграла следует, что предел этой суммы при и стремлении наибольшего диаметра площадок ; к нулю существует и равен двойному интегралу от функции по области D. Величина двукратного интеграла стоящего в левой части равенства (2), не зависит от n. Таким образом, переходя к пределу в равенстве (2), получим

или

Выписывая подробно выражение двукратного интеграла , окончательно получим

Замечание 1. Для случая, когда формула (4) имеет наглядное геометрическое толкование. Рассмотрим тело, ограниченное поверхностью плоскостью и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси а направляющей служит граница области D (рис. 301). Вычислим объем этого тела V. Выше было показано, что объем этого тела равняется двойному интегралу от функции по области

Рис. 301.

Вычислим теперь объем этого тела, пользуясь результатами § 4 гл. XII т. е. о вычислении объема тела по площадям параллельных сечений. Проведем плоскость рассекающую рассматриваемое тело. Вычислим площадь фигуры, получающейся в сечении . Эта фигура есть криволинейная трапеция, ограниченная линиями Следовательно, эта площадь выразится интегралом

Зная площади параллельных сечений, легко найти объем тела

или, подставляя выражение (6) для площади получаем

В формулах (5) и (7) левые части равны, следовательно, равны и правые:

Теперь нетрудно выяснить и геометрический смысл теоремы об оценке двукратного интеграла (свойство 2 предыдущего параграфа): объем тела V, ограниченного поверхностью z = f(x, у), плоскостью и цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области D, превосходит объем цилиндра с основанием S и высотой , но меньше объема цилиндра с основанием S и высотой М (где — наименьшее и наибольшее значения функции в области D (рис. 302)).

Рис. 302.

Рис. 303.

Это следует из того, что двукратный интеграл равен объему этого тела V.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл если область D ограничена прямыми

Решение. На основании формулы (4)

Пример 2. Вычислить двойной интеграл от функции по области, ограниченной линиями (рис. 303).

Решение,

Замечание 2. Пусть правильная в направлении оси Ох область D ограничена линиями причем (рис. 304).

Очевидно, что в этом случае

Для вычисления двойного интеграла его надо представить в виде двукратного.

Как мы видели выше, это можно сделать двумя различными способами: или по формуле (4) или по формуле (8). В каждом конкретном случае в зависимости от вида области D или подынтегральной функции мы выбираем ту или иную формулу для вычисления двойного интеграла.

Пример 3» Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение. Область интегрирования ограничена прямой у=х и параболой (рис. 305).

Рис. 304,

Рис. 305.

Рис. 306.

Всякая прямая, параллельная оси Ох, пересекает границу области не более чем в двух точках; следовательно, можно вычислять интеграл по

формуле (8), полагая

тогда

Пример 4. Вычислить если область D представляет треугольник, ограниченный прямыми

Решение. Заменим данный двойной интеграл двукратным. При этом воспользуемся формулой (4). (Если бы мы применили формулу (8), то нам пришлось бы интегрировать функцию по но этот интеграл на берется в элементарных функциях.)

Замечание 3. Если область D не является правильной ни в направлении оси Ох, ни в направлении оси Оу (т. е. существуют вертикальные и горизонтальные прямые, которые, проходя через внутренние точки области, пересекают границу области более чем в двух точках), то двойной интеграл по этой области мы не можем представить в виде двукратного. Если удается разбить неправильную область D на конечное число правильных или в направлении оси Ох, или в направлении оси Оу областей то, вычисляя двойной интеграл по каждой из этих областей с помощью двукратного и складывая получившиеся результаты, мы получим искомый интеграл по области

Рис. 307.

Рис. 308.

На рис. 307 показан пример того, как неправильную область D можно разбить на три правильные области

Пример 5. Вычислить двойной интеграл

по области D, заключенной между двумя квадратами с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат, если каждая сторона внутреннего квадрата равна 2, а внешнего 4 (рис. 308).

Решение. Область D является неправильной. Однако прямые разбивают ее на четыре правильные области Поэтому

Представляя каждый из этих интегралов в виде двукратного, найдем:

Замечание 4. В дальнейшем, записывая двукратный интеграл

мы будем опускать скобки, в которые заключен внутренний интеграл, т. е. будем писать

При этом, так же как и при наличии скобок, мы будем считать, что первое интегрирование совершается по той перемейной, дифференциал которой написан первым, а затем по той переменной, дифференциал которой написан вторым. (Заметим, одйако, что это не является общепринятым; в некоторых книгах принято противоположное условие: интегрировать сначала по той переменной, дифференциал которой занимает последнее место).