§ 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса

Рассмотрим частный случай, когда т. е. когда сопротивление отсутствует, а частота внешней силы совпадает с частотой собственных колебаний . В этом случае уравнение имеет вид

Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям при Вспомогательное уравнение будет

откуда

Мы получили правильную рациональную дробь IV вида, которую в общем виде мы не рассматривали. Чтобы найти начальную функцию для изображения (66), воспользуемся следующим приемом. Напишем тождество (формула 2 таблицы 1)

Продифференцируем обе части этого равенства по

Пользуясь тождеством (67), это равенство можно переписать так:

Отсюда непосредственно следует

(из этой формулы получается формула 13 таблицы 1). Итак, искомое решение уравнения (65) будет

Изучим второе слагаемое этого решения

при увеличении t эта величина не является ограниченной. Амплитуда колебаний, соответствующих «формуле (68), неограниченно возрастает при неограниченном возрастании t. Следовательно, и амплитуда колебаний, соответствующих формуле (68), неограниченно возрастает. Это явление, имеющее место при совпадении частоты собственных колебаний с частотой внешней силы, называется резонансом (см. также гл. ХIII, § 28, рис. 280).