ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

§ 1. Основные типы уравнений математической физики

Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций двух независимых переменных) следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

I. Волновое уравнение:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.

II. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (например, фильтрации нефти и газа в подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа.

III. Уравнение Лапласа:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д.. Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа.

В уравнениях (1), (2) и (3) искомая функция и зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения

и для функций с большим числом переменных. Так, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид

уравнение Лапласа с тремя независимыми переменными имеет вид