Упражнения к главе XX

1. Одновременно бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что выпадет сумма очков, равная 5. Отв. 1/9.

2. В лотерее имеется 10 билетов: 5 выигрышей и 5 проигрышей. Берем два билета. Какова вероятность выигрыша? Отв. 7/9.

3. Игральная кость бросается 5 раз. Какова вероятность того, что хоть 1 раз не появится 4 очка? Отв. 0,99987.

4. Вероятность попадания в самолет из винтовки равна 0,004. Сколько стрелков должно стрелять одновременно, чтобы вероятность попадания стала Отв.

5. Из двух орудий по одной цели произведено по выстрелу. Вероятность попадания из первого орудия 0,7, из второго 0,6. Определить вероятность хотя бы одного попадания. Отв. 0,88.

6. На 100 карточках написаны числа от 1 до 100. Определить вероятность того что на случайно взятой карточке содержится цифра 5. Отв. 0,19.

7. Имеется 4 машины. Вероятность того, что машина работает в произвольный момент равна 0,9. Определить вероятность того, что в момент t работает хотя бы одна машина. Отв. 0,9999.

6. Вероятность попадания в цель Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет три попадания. Отв.

9. В первом ящике деталей первого сорта 30%, во втором 40%. Вынимаются по одной детали из каждого ящика. Определить вероятность того, что обе вынутые детали первого сорта. Отв. 0,12.

10. Механизм состоит из трех деталей. Вероятность брака 1-й детали вероятность брака 2-й детали вероятность брака 3-й детали Определить вероятность брака при изготовлении всего механизма. Отв. 0,03.

11. Вероятность попадания при одном выстреле Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет иметь место хотя бы одно попадание. Отв. 0,936.

12. Среди 350 механизмов 160 первого сорта, -второго сорта и 80 — третьего сорта. Вероятность брака среди механизмов первого сорта 0,01, среди второго сорта 0,02, среди третьего сорта 0,04. Берется один механизм. Определить вероятность того, что механизм исправный. Отв. 0,98.

13. Пусть известно, что вследствие ошибок, допускаемых при подготовке стрельбы, центр рассеивания снарядов (ЦРС) при первом выстреле может находиться по дальности в одной из пяти точек. Вероятность того, что ЦРС будет находиться в этих точках, соответственно равны Известно также, что если ЦРС будет находиться в первой точке, то вероятность попадания цель по дальности будет равна и для остальных точек соответственно .

На исходной установке прицела произведен выстрел, в результате которого получен по дальности промах. Определить, чему равна вероятность того, что выстрел произведен на установке прицела, соответствующей каждой из указанных пяти точек ЦРС, т. е. определить вероятности гипотез о различных ошибках в положении ЦРС после испытания (выстрела). Отв. 0,85; 0,75; 0,40; 0,75; 0,85.

14. Игральная кость бросается 5 раз. Какова вероятность, что 2 раза выпадет шестерка и 3 раза не шестерка? Отв. 625/3888.

15. Производится 6 выстрелов. Определить вероятность того, что не все выстрелы дадут перелеты, если вероятность перелета вероятность недолета (стрельба по «узкой» цели). Отв. 31/32.

16. Для условий предыдущей задачи определить вероятность того, что будет 3 перелета и 3 недолета. Отв. 5/16.

17. Найти математическое ожидание числа очков при одном бросании игральной кости. Отв. 7/2.

18. Найти дисперсию случайной величины заданной таблицей распределения Отв. 1,05.

19. Вероятность появления события А при одном испытании равна 0,4. Производится 5 независимых испытаний. Найти дисперсию числа появлений события А. Отв. 1,2.

20. Производится стрельба по мишени. Вероятность попадания 0,8. Стрельба идет до первого попадания. Имеется 4 снаряда. Определить математическое ожидание числа израсходованных снарядов. Отв. 1,242.

21. При стрельбе по некоторой «тонкой» цели вероятность перелета вероятность недолета Определить вероятность комбинации из 2 перелетов и 4 недолетов при шести выстрелах. Отв. 0,297.

22. Вероятность того, что деталь имеет брак, Какова вероятность того, что в партии из 10 деталей будет бракованных 0, 1, 2, 3 деталей? Отв. 0,9045; 0,0904; 0,0041; 0,0011.

23. Найти вероятности получения хотя бы одного попадания в цель при 10 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле Отв.

24. Случайная величина задана интегральной функцией распределения

Найти плотность распределения

25. Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 30 и дисперсией ШО. Найти вероятность того, что значение случайной величины заключено в интервале (10, 50). Отв. 0,954.

26. Случайная величина подчинена нормальному закону распределения с дисперсией Найти вероятность того, что значение случайной величины будет отличаться по абсолютной величине от математического ожидания меньше, чем на 0,3. Отв. 0,5468.

27. Случайная величина подчинена нормальному закону распределения с центром рассеивания и мерой точности Найти вероятность попадания в интервал (0,5; 2,0). Отв. 0,262.

28. Стрельба ведется по полосе шириной Систематическая ошибка наводки занижением). Вероятное отклонение Найти вероятность попадания в полосу при нормальном законе рассеивания. Отв. 0,211.

29. Стрельба ведется по прямоугольнику, ограниченному прямыми в направлении прямой, делящей короткую сторону пополам. Вероятные отклонения нормального распределения на плоскости Найти вероятность попадания при одном выстреле. С те. 0,25.

30. Ошибка при изготовлении детали с заданной длиной 20 см есть случайная величина, подчиненная нормальному закону; см. Определить вероятность того, что длина изготовленной детали будет отличаться от заданной меньше, чем на 0,3 см. Отв. 0,866.

31. В условиях примера 30 определить ошибку при изготовлении изделия, которая не будет превзойдена с вероятностью 0,95. Отв. 0,392.

32. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами Определить вероятность того, что случайная величина окажется в интервале (1, 10). Сделать чертеж. Отв. 0,971.

33. Длина изготовляемой автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 15 ± 0,3. Какую точность длины изготовляемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,97? Сделать чертеж.

34. При измерении некоторой величины получен следующий статистический ряд:

Определить статистическое среднее и статистическую дисперсию. Отв. 2; 1.

35. Результаты измерения даются таблицей

Определить статистическое среднее а, статистическую дисперсию а. Отв. 0,226; 0,004.

36. Вероятность брака при производстве деталей Найти вероятность того, что в партии из 400 деталей окажется от 7 до 10 бракованных деталей. Отв. 0,414.

37. Вероятность попадания в цель Какова вероятность того, что при 250 выстрелах число попаданий будет заключено между 100 и 150? Отв. 0,998.

38. Вероятность брака при изготовлении некоторых деталей . Определить вероятность того, что среди взятых 1000 штук деталей окажется бракованных не более 25. Отв. 0,87.