§ 25. Степенные ряды с комплексной переменной

Перейдем теперь к рассмотрению степенных рядов с комплексными членами.

Определение 1. Ряд

где — комплексная переменная, х и у — действительные числа, постоянные комплексные или действительные числа, называется степенным рядом, с комплексной переменной.

Для таких степенных рядов существует теория, аналогичная теории степенных рядов с действительными членами.

Определение 2. Совокупность значений на плоскости комплексной переменной, при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда (1) (при каждом

конкретном значении ряд (1) превращается в числовой ряд с комплексными членами типа (4) § 24).

Определение 3. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится, ряд, составленный из модулей его членов,

Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1. Область сходимости степенного ряда с комплексными членами (1) есть круг на плоскости комплексной переменной z с центром в начале координат. Его называют кругом сходимости. В точках, лежащих внутри круга сходимости, ряд (1) сходится абсолютно.

Радиус круга сходимости R называют радиусом сходимости степенного ряда. Если R - радиус сходимости степенного ряда (1), то пишут, что ряд сходится в области

(Аналогично вопросу о сходимости степенного ряда с действительной переменной, на концах интервала вопрос о сходимости ряда в точках границы решается дополнительным исследованием.) Заметим, что в зависимости от характера коэффициентов радиус сходимости R может иметь любое значение от до . В первом случае ряд сходится только в точке в последнем случае ряд сходится при любом значении .

Напишем равенство

Если z будет принимать различные значения внутри круга сходимости, то функция будет принимать различные значения. Таким образом, каждый степенной ряд с комплексной переменной определяет внутри круга сходимости соответствующую функцию комплексной переменной. Это аналитическая функция комплексной переменной. Приведем примеры функций комплексной переменной, определенных степенными рядами с комплексной переменной.

Это показательная функция комплексной переменной. Если , то формула (4) превращается в формулу (2) § 17. Если , то получаем равенство (1) § 18.

Это синус комплексной переменной. При у = 0 формула (5) превращается в формулу (1) § 17.

Это косинус комплексной переменной. Если в формуле справа и слева вместо подставить , то аналогично тому, как это делалось в § 18, получим

Это формула Эйлера для комплексного . Если z - действительное число, то эта формула совпадает с формулой (2) § 18.

Последние две формулы аналогичны формулам (5) и (6) § 17 и с ними совпадают, если - действительное число.

На основании (4), (5), (6), (8) и (9) путем сложения, вычитания рядов, замены на получаются следующие равенства:

Отметим, что ряды (4), (5), (6), (8), (9) сходятся при всех значениях , в чем легко убедиться на основании теоремы J дайногб Параграфа и теоремы 1 § 24. Аналогично тому, как это делалось в случае степенных рядов с действительной переменной, рассматриваются ряды с комплексной переменной по степеням где -некоторое комплексное число:

— комплексные или действительные постоянные. Ряд (14) приводится к виду (1) подстановкой Все свойства и теоремы, справедливые для ряда вида (1), переносятся на ряд вида (14), только центр круга сходимости ряда (14) находится не в начале координат, а в точке

Если - радиус сходимости ряда (14), то пишут: ряд сходится в области