§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события

Определение 1. Суммой двух событий называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Ниже будет рассматриваться вероятность суммы двух несовместных событий и . Сумма этих событий обозначается

или

Справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о сложении, вероятностей.

Теорема 1. Пусть при данном испытании (явлении, опыте) могут иметь место случайное событие с вероятностью и событие с вероятностью События несовместны.

Тогда вероятность суммы событий, т. е. того, что произойдет или событие или событие вычисляется по формуле

Доказательство. Пусть

Так как события несовместны, то при общем числе случаев число случаев, благоприятствующих появлению событий одновременно, равно 0, а число случаев, благоприятствующих появлению или события или события равно Следовательно,

что и требовалось доказать.

Аналогичным образом можно доказать эту теорему для любого числа слагаемых:

Последнее равенство записывается и так:

Замечание. Мы доказали теорему сложения для схемы случаев, когда вероятность определяется непосредственным подсчетом. В дальнейшем будем считать, что теорема сложения вероятностей справедлива и тогда, когда непосредственный подсчет вероятностей осуществить невозможно. Это утверждение основано на следующих соображениях.

Вероятности событий при большом числе испытаний близки (за редкими исключениями) к относительным частотам, а для относительных частот доказательство проводится так же, как и выше. Это замечание будет относиться и к доказательству последующих теорем, которые мы будем доказывать, пользуясь схемой урн.

Рис. 405

Пример 1. Производится стрельба по некоторой области, состоящей из трех непересекающихся зон (рис. 405). Вероятность попадания в зону в зону Какова вероятность попасть в область D? Событие А — попадание в область D. По

формуле (1) имеем

Определение 2. Два события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу.

Если одно событие обозначим через А, то противоположное событие обозначают через А.

Пусть вероятность появления события А есть , вероятность непоявления события А, т. е. вероятность появления события А, обозначим через

Так как при испытаний обязательно произойдет или событие А или событие А, то на основании теоремы (1) получаем:

т.е. сумма вероятностей противоположных событий равняется единице:

Пример 2. Производится один выстрел по мишени. Попадание — событие А. Вероятность попадания . Определить вероятность промаха.

Промах есть событие А, противоположное событию А, поэтому вероятность промаха

Пример 3. Производится некоторое измерение. Получение ошибки при измерении, меньшей к, есть событие А. Пусть Противоположное событие — получение ошибки большей X или равной X, есть событие А. Вероятность этого - события

Следствие 1. Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство

Доказательство. Так как события образуют полную группу событий, то появление одного из этих событий есть событие достоверное. Следовательно,

Преобразуя левую часть по формуле , получим равенство (3).

Определение 3. Случайные события А и В называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события, т. е. произойдет совмещение событий Л и В.

Событие, заключающееся в совмещении событий А и В, будем обозначать (А и В) или (AВ). Вероятность совмещения событий А и В будем обозначать .

Теорема 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

Справедливость формулы (4) мы проиллюстрируем геометрически. Предварительно введем следующее определение.

Определение 4. Пусть дана некоторая область D, площадь которой равна S. Рассмотрим область d, входящую в

Пусть ее площадь S. Тогда вероятность попадания точки в область d, считая достоверным попадание точки в область D, по определению, равна Эту вероятность называют геометрической вероятностью.

Рис. 406,

Тогда, считая, достоверным - попадание точки в квадрат со стороной, равной 1, имеем (рис. 406)

Очевидно, что имеет место следующее равенство:

Подставляя в это равенство левые части равенств (5), получим равенство (4).

Аналогичным образом можно вычислить вероятность суммы любого числа совместных случайных событий.

Отметим, что теорему 2 можно доказать, исходя из сделанных ьыше определений и правил операций.