§ 14. Интеграл Фурье в комплексной форме

В интеграле Фурье (формула (7) § 13) в скобках стоит четная функция от а, следовательно, она определена и при отрицательных значениях а. На основании сказанного формулу (7) можно переписать так:

Рассмотрим, далее, следующее выражение, тождественно раэное нулю:

Выражение, стоящее слева, тождественно равно нулю потому, что функция от а, стоящая в скобках, есть нечетная функция, а интеграл от нечетной функции в пределах от до равен нулю. Очевидно, что

или

Замечание. Здесь необходимо указать на следующее обстоятельство. Сходящийся интеграл с бесконечными пределами определяется так:

при условии, что каждый из стоящих справа пределов существует (см. § 7 гл. XI т. 1). Мы же в равенстве (2) написали так:

Очевидно, может случиться, что предел существует, а пределы, стоящие в правой части равенства не существуют. Выражение, стоящее справа в равенстве называется главным значением интеграла. Итак, в равенстве (2) рассматривается главное значение несобственного (внешнего) интеграла. В этом же смысле будут писаться и последующие интегралы этого параграфа.

Умножим члены равенства (2) на сложим с соответствующими частями равенства (1), тогда получим:

или

Правая часть в формуле (3) называется интегралом Фурье в комплексной форме для функции f (я).

Перепишем формулу (3) так:

или коротко

где

Формула (5) аналогична формуле (10) § 12; а также называется волновым числом, но здесь оно принимает все значения от до и спектр волновых чисел называется непрерывным спектром. Аналогию формулы (5) и формулы (10) § 12 можно проводить и дальше. Если в формуле (10) § 12 волновому числу соответствует комплексная амплитуда , то говорят, что в формуле (5) волновым числам, заключенным в интеграле соответствует комплексная амплитуда Функцию называют спектральной плотностью или спектральной функцией. (Здесь термин плотность употребляется в том же смысле, как в § 8 гл. XIV, где говорилось о плотности распределения по двумерной области.)

Равенство (4) переписывают в виде двух равенств:

Функция , определенная формулой (7), называется преобразтанием Фурье для функции Функция оцределенная формулой (8), называется обратным преобразованием Фурье для функции (преобразования отличаются знаком при . Функция отличается от функции постоянным множителем

Из преобразований (7) и (8) следуют преобразования (12), (14), (13) и (15) § 13 (с точностью до постоянного множителя 1/2). Преобразования (12) и (14) получатся, если подставить в (7)

и приравнять действительные и мнимые части. Аналогичным образом получаются преобразования (13) и (15) из преобразования (8).

Отметим, что преобразованиями, аналогичными преобразованиям Фурье, мы будем пользоваться в гл. XIX «Операционное исчисление и некоторые его приложения».