§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости

I. Уравнение вида

не содержит явным образом искомой функции у. Решение. Обозначим производную через , т. е. положим . Тогда

Подставляя эти выражения производных в уравнение (1), получим уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции от Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение

а затем из соотношения получаем общий интеграл уравнения (1)

Пример I. Рассмотрим дифференциальное уравнение цепной линии (см. § 1)

Положим

тогда

и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции от

Разделяя переменные, будем иметь

откуда

Но так как то последнее соотношение представляет собой дифференциальное уравнение относительно искомой функции у. Интегрируя его, получим уравнение цепной линии (см. § 1)

Найдем частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

Второе условие дает первое

Окончательно получаем

Замечание. Аналогичным способом можно проинтегрировать уравнение

Полагая получим для определения уравнение первого порядка

Узнав отсюда как функцию от из соотношения найдем у (см. § 17).

II. Уравнение вида

не содержит явным образом независимой переменной

Для его решения снова положим

но теперь мы будем считать функцией от у (а не от как прежде). Тогда

Подставляя в уравнение (2) выражения и получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции

Интегрируя его, найдем как функцию от у и произвольной постоянной

Подставляя это значение в соотношение (3), получим дифференциальное уравнение первого порядка для функции у от

Разделяя переменные, находим

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения

Пример 2. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Положим рассматривая как функцию от у. Тогда и мы получаем уравнение первого порядка для вспомогательной функции

Интегрируя это уравнение, находим или . Но следовательно, для определения у получаем уравнение или откуда для вычисления последнего интеграла сделаем

подстановку Тогда

Следовательно,

Окончательно получаем

Пример 3. Пусть точка движется по оси под действием силы, зависящей только от положения точки. Дифференциальное уравнение движения будет

Пусть при будет

Умножив обе части уравнения на и проинтегрировав в пределах от 0 до получим

или

Первое слагаемое последнего равенства представляет собой кинетическую энергию, второе — потенциальную энергию движущейся точки. Из полученного равенства следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной во все время движения.

Задача о математическом маятнике. Пусть материальная точка массы под действием силы тяжести движется по окружности L, лежащей в вертикальной плоскости. Найдем уравнение движения точки, пренебрегая силами сопротивления (т. е. силой трения, силой сопротивления воздуха и т. п.).

Поместим начало координат в низшей точке окружности, ось Ох направим по касательной к окружности (рис. 271).

Обозначим через l радиус окружности, через -длину дуги от начала О до переменной точки М, где находится масса , причем эту длину берем с соответствующим знаком (s > 0, если точка М правее точки О; s < 0, если М левее О).

Наша задача заключается в установлении зависимости от времени Разложим силу тяжести на тангенциальную и нормальную составляющие. Первая, равная вызывает движение! вторая уничтожается реакцией кривой, по которой движется масса т.

Таким образом, уравнение движения имеет вид

Так как для окружности угол , то мы получаем уравнение

Это дифференциальное уравнение II типа (так как оно не содержит явным образом независимой переменной ).

Рис. 271.

Интегрируем его соответствующим образом:

Следовательно, или откуда

Обозначим через наибольшую длину дуги, на которую отклоняется точка М. При скорость точки равна нулю:

Это дает возможность определить откуда . Поэтому или применяя к последнему выражению формулу для разности косинусов,

откуда

Это — уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим

Будем пока предполагать, что тогда знаменатель дроби отличен от нуля. Если считать, что при то из равенства (7) получаем

Это равенство и дает зависимосгь s от t. Интеграл, стоящий слева, не выражается через элементарные функции, не выражается через элементарные функции и функция s от t. Рассмотрим поставленную задачу приближенно. Будем предполагать, что углы малы. Углы не будут превосходить . В уравнении (б) синусы углов заменим приближенно углами:

или

Разделяя переменные, получим (предполагаем пока, что

Снова будем считать, что при Интегрируя последнее уравнение, получим

или

откуда

Замечание. При решении мы предполагали, что . Но путем непосредственной подстановки убеждаемся, что функция (9) есть решение уравнения (6) при любом значении t.

Напомним, что решение (9) является приближенным решением уравнения (5), так как уравнение (6) мы заменили приближенным уравнением (6).

Равенство (9) показывает, что точка М (которую можно рассматривать как конец маятника) совершает гармонические колебания с периодом колебания . Этот период не зависит от амплитуды колебания

Пример 4. Задача о второй космической скорости.

Определить наименьшую скорость, с какой нужно бросить тело вертикально вверх, чтобы оно не вернулось на Землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Обозначим массу Земли и массу брошенного тела соответственно через По закону тяготения Ньютона сила притяжения, действующая на тело , будет

где — расстояние между центром Земли и центром масс брошенного тела, k — гравитационная постоянная.

Дифференциальное уравнение движения указанного тела с массой будет

или

Мы взяли знак минус потому, что в задаче ускорение отрицательно. Дифференциальное уравнение (10) есть уравнение вида (2). Будем решать это уравнение при следующих начальных условиях: при

Здесь радиус Земли, скорость бросания. Обозначим , где v — скорость движения. Подставляя в уравнение (10), получим . Разделяя переменные, получаем

Интегрируя это уравнение, находим

Из условия, что на поверхности Земли (при r = R), определим

или

Подставим найденное значение в равенство (11):

или

По условию тело должно двигаться так, чтобы скорость всегда была положительной, следовательно, . Так как/величина при неограниченном возрастании делается как угодно малой, то условие будет выполняться при любом только в случае

или

Следовательно, наименьшая скорость будет определяться равенством

где

На поверхности Земли при ускорение силы тяжести равно . На основании этого из равенства (10) получаем или . Подставляя это значение М в формулу (14), получаем