§ 10. Решение задачи Дирихле для круга

Пусть в плоскости Оху имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана некоторая функция где полярный угол. Требуется найти функцию

непрерывную в круге, включая границу, удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

и на окружности круга принимающую заданные значения

Будем решать задачу в полярных координатах. Перепишем уравнение (1) в этих координатах:

или

Будем искать решение методом разделения переменных, полагая

Подставляя в уравнение , получим

или

Левая часть этого равенства не зависит от , а правая от следовательно, они равны постоянному числу, которое мы обозначаем через Таким образом, равенство (4) дает два уравнения

Общее решение уравнения (5) будет

Решение уравнения (5) будем искать в форме Подставляя в (5), получим

или

Итак, имеются два частных линейно независимых решения Общее решение уравнения (5) будет

Выражения (6) и (7) подставляем в (3):

Функция (8) будет решением уравнения при любом значении к, отличном от нуля. Если то уравнения (5) и (5) принимают вид

и, следовательно,

Решение должно быть периодической функцией от так как при одном и том же значении при мы должны иметь одно и то же значение решения, потому что рассматривается одна и та же точка круга. Поэтому очевидно, что в формуле (8) должно быть Далее, мы ищем решение, непрерывное и конечное в круге. Следовательно, в центре круга при решение должно быть конечным, и потому в формуле (8) должно быть а в формуле

Таким образом, правая часть (8) обращается в произведение которое мы обозначим через Итак,

Мы будем составлять решение нашей задачи в виде суммы решений вида (8), так как сумма решений есть решение. Сумма должна быть периодической функцией от Это будет так, если каждое слагаемое будет периодической функцией от . Для этого к должно принимать целые значения. (Заметим, что если бы мы приравняли части равенства (4) числу то не получили бы периодического решения.) Мы можем ограничиться только положительными значениями

так как в силу произвольности постоянных А, В, С, D отрицательные значения k новых частных решений не дают. Итак,

(постоянная включена в Подберем теперь произвольные постоянные так, чтобы удовлетворялось краевое условие (2). Подставляя в равенство на основании условия (2) получаем

Чтобы имело место равенство (10), нужно, чтобы функция разлагалась в ряд Фурье в интервале и чтобы были ее коэффициентами Фурье. Следовательно, должны определяться по формулам

Итак, ряд (9) с коэффициентами, определенными по формулам (11), будет решением нашей задачи, если он допускает почленное двукратное дифференцирование по и по это нами не доказано). Преобразуем формулу (9). Подставляя вместо их выражения (11) и производя тригонометрические преобразования, получим

Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках

Заменяя выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (12), выражением (13), получим

Формула (14) называется интегралом Пуассона. Путем анализа этой формулы доказывается, что если функция непрерывная, то функция и определенная интегралом (14), удовлетворяет уравнению и при будет и является решением поставленной задачи Дирихле для круга.