§ 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях

Пусть — гармоническая функция трех переменных. Тогда

Введем в рассмотрение цилиндрические координаты

откуда

Заменяя независимые переменные на , придем к функции :

Найдем уравнение, которому будет удовлетворять и как функция аргументов .

Имеем

аналогично

кроме того,

Выражения для находим из равенств (2). Складывая правые части равенств и приравнивая сумму нулю (так как сумма левых частей этих равенств равна нулю в силу (1)), получаем

Это и есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

Если функция и не зависит от и зависит от х и у, то функция и, зависящая только от удовлетворяет уравнению

где полярные координаты на плоскости.

Найдем теперь решение уравнения Лапласа в области D (кольце), ограниченной окружностями принимающее следующие граничные значения:

где — постоянные.

Будем решать задачу в полярных координатах. Очевидно, что целесообразно искать решение, не зависящее от Уравнение (7) в этом случае примет вид

Интегрируя это уравнение, найдем

Определим из условий (8) и (9):

Отсюда находим

Подставляя найденные значения в формулу (10), окончательно получаем

Замечание. Фактически мы решили следующую задачу: найти функцию и, удовлетворяющую уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах): и следующим граничным условиям:

(задача Дирихле—Неймана). Очевидно, что искомое решение не зависит ни от , ни от и дается формулой (11).