§ 7. Формула Стокса

Пусть имеем поверхность от такую, что всякая прямая, параллельная оси пересекает ее в одной точке. Границу поверхности а обозначим через . Положительное направление нормали возьмем так, чтобы она образовывала с положительным направлением оси острый угол (рис. 356).

Пусть уравнение поверхности есть Направляющие косинусы нормали выражаются формулами (см. § 6 гл. IX т. I):

Будем предполагать, что поверхность а всеми своими точками лежит в некоторой области V. Пусть в области V задана функция , непрерывная вместе с частными производными первого порядка.

Рассмотрим криволинейный интеграл по кривой

На линии А, имеем z = f(x, у), где — координаты точек линии L, являющейся проекцией линии X на плоскость (рис. 356).

Рис. 356.

Следовательно, мы можем написать равенство

Последний интеграл есть криволинейный интеграл по линии L. Преобразуем этот интеграл по формуле Грина, положи»

Подставляя в формулу Грина вместо их выражения, получим

где область D ограничена линией L. На основании производной сложной функции где у входит и непосредственно, и через функцию найдем

Подставляя выражение (4) в левую часть равенства (3), получим

Последнее равенство с учетом равенства (2) можно переписать так:

Последние два интеграла преобразуются в интегралы по- поверхности. Действительно, на основании формулы из § 5 следует, что если имеем некоторую функцию , то справедливо равенство

На основании этого равенства интегралы, стоящие в правой части равенства (5), преобразуются следующим образом:

Последний интеграл преобразуем с помощью формул (1) настоящего параграфа: деля почленно второе из этих равенств на третье, находим

или

Следовательно,

Подставляя выражения (6) и (7) в равенство (5), получаем

Направление обхода контура К должно быть согласно с выбранным направлением положительной нормали . Именно, если наблюдатель смотрит с конца нормали, то он видит обход вдоль кривой против часовой стрелки.

Формула (8) справедлива для любой поверхности, если эту поверхность можно разбить на части, уравнения которых имеют вид z = f(х, у).

Аналогично можно написать формулы

Складывая левые и правые части равенств (8), (8) и получим формулу

Эта формула называется формулой Стокса по имени английского физика и математика Д. Стокса (1819—1903). Она устанавливает зависимость между интегралом по поверхности а и криволинейным интегралом по границе этой поверхности, причем обход по кривой совершается по тому же правилу, которое было указано выше.

Вектор В, определяемый проекциями

называется вихрем или ротором векторной функции и обозначается символом

Следовательно, в векторной форме формула (9) будет иметь

и теорема Стокса формулируется так:

Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихрягчерез эту поверхность.

Замечание. Если поверхность а есть кусок плоскости, параллельной плоскости то и мы получаем формулу Грина как частный случай формулы Стокса.

Из формулы (9) следует, что если

криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой равен нулю:

Отсюда следует, что в этом случае криволинейный интеграл не зависит от формы кривой интегрирования.

Как и в случае плоской кривой, можно показать, что для выполнения равенства (11) условия (10) являются не только достаточными, но и необходимыми.

При выполнении этих условий подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции :

и, следовательно,

Это доказывается так же, как соответствующая формула для функции двух переменных (см. § 4).

Пример 1. Напишем основные уравнения динамики материальной точки

Здесь m — масса точки; - проекции на оси координат силы, действующей на точку; - проекции скорости на оси координат. Умножим левые и правые части написанных уравнений на выражения

Сложив почленно данные равенства, получим

Так как то мы можем написать

Возьмем интеграл вдоль траектории, соединяющей точки

где — скорости в точках

Последнее равенство выражает теорему живых сил: приращение кинетической энергии при переходе из одной точки в другую равно работе силы, действующей на массу .

Пример 2. Определить работу силы ньютонова притяжения к неподвижному центру массы при перемещении единичной массы из положения в положение

Рис. 357,

Решение. Пусть начало координат помещено в неподвижный центр притяжения. Обозначим чеез радиус-вектор точки М (рис. 357), соответствующий произвольному положению единичной массы, а через единичный вектор, направленный по вектору . Тогда где k — гравитационная постоянная. Проекции силы F на оси координат будут

Тогда работа силы F на равна

как Если обозначить через длины радиус-векторов точек и то

Таким образом, здесь криволинейный интеграл также не зависит кривой интегрирования, а зависит только от положения начальной и конечной точек. Функция называется потенциалом поля тяготения, создаваемого массой т. В данном случае

т. е. работа при перенесении единичной массы равняется разности значений потенциала в конечной и начальной точках.

§ 8. Формула Остроградского

Пусть в пространстве задана правильная трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью и проектирующаяся на плоскость Оху в правильную двухмерную область D. Мы предположим, что поверхность а можно разбить на три части , так, что уравнения первых двух имеют вид где непрерывные в области D, а третья часть есть цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси

Рассмотрим интеграл

Произведем сначала интегрирование по :

Выберем на нормали к поверхности определенное направление, а именно то, которое совпадает с направлением внешней нормали к поверхности . Тогда будет на поверхности положительным, а на поверхности с отрицательным; на поверхности он равен нулю.

Двойные интегралы, стоящие в правой части равенства (1), равны соответствующим интегралам по поверхности:

В последнем интеграле мы написали потому, что элемент поверхности <т и элемент площади области D связаны соотношением так как угол тупой. Итак,

Подставляя (2) и в равенство (1), получим

Для удобства дальнейших формул последнее равенство перепишем так (прибавив , так как на поверхноста выполняется равенство ):

Но сумма интегралов, стоящих в правой части последнего равенства, есть интеграл по всей замкнутой поверхности о; поэтому

Аналогично можно получить соотношения

Складывая почленно три последних равенства, получим формулу Остроградского

Выражение называется дивергенцией вектора (или дивергенцией векторной функции)

и обозначается символом :

Отметим, что эта формула справедлива для любой области, которая может быть разбита на области, удовлетворяющие условиям, указанным в начале этого параграфа.

Дадим гидромеханическую интерпретацию полученной формулы.

Пусть вектор есть вектор скорости жидкости, протекающей через область V. Тогда интеграл по поверхности, стоящей в формуле (2), есть интеграл от проекции вектора F на внешнюю нормаль я; он дает количество жидкости, вытекающей из области V через поверхность а в единицу времени (или втекающей в область V, если этот интеграл отрицателен). Это количество выражается через тройной интеграл от

Если то двойной интеграл по любой замкнутой поверхности равен нулю, т. е. количество вытекающей (или втекающей) через любую замкнутую поверхность о жидкости будет равно нулю (отсутствуют источники). Точнее говоря, количество жидкости, втекающей внутрь области, равно количеству жидкости, вытекающей из этой области.

В векторной форме формула Остроградского имеет вид

и читается так: интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по некоторому объему, равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем.