§ 12. Интегрирование и дифференцирование рядов
Теорема 1. Пусть имеем ряд непрерывных функций
мажорируемый на отрезке 
и пусть 
есть сумма этого ряда. Тогда интеграл от 
в пределах от а до 
принадлежащих отрезку 
равняется сумме таких же интегралов от членов данного ряда, т. е.
Доказательство. Функцию 
можно представить в виде
или
Тогда
(интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых).
Так как исходный ряд (1) мажорируем, то при любом х имеем 
где 
при 
. Поэтому
Так как 
Но из равенства (2) получаем:
Следовательно,
или
Сумма, стоящая в квадратных скобках, есть частичная сумма ряда
Поскольку частичные суммы этого ряда имеют предел, этот ряд сходится и его сумма в силу равенства (3) равна 
т. е.
а это и есть равенство, которое требовалось доказать.
Замечание 1. Если ряд не мажорируем, 
, то почленное интегрирование ряда не всегда возможно. Это надо понимать в том смысле, что интеграл 
от суммы ряда (1) не всегда равно сумме интегралов от его членов (т. е. сумме ряда (4)). Теорема 2. Если ряд
составленный из функций, имеющих непрерывные производные на епгрезке 
сходится на этом отрезке к сумме 
и ряд
составленный из производных его членов, мажорируем на том же отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы первоначального ряда, т. е.
Доказательство. Обозначим через 
сумму ряда (6):
и докажем, что
Так как ряд (6) мажорируем, то на основании предыдущей" теоремы
Производя интегрирование, будем иметь
Но по условию
каковы бы ни были числа 
на отрезке 
Поэтому
Дифференцируя по 
обе части последнего равенства, получим
Таким образом, мы доказали, что при выполнении условий теоремы производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда.
Замечание 2. Требование мажорируемости ряда производных является весьма существенным, и его невыполнение может привести к невозможности почленного дифференцирования ряда. В подтверждение этого приведем, пример мажорируемого ряда, не допускающего почленного дифференцирования.
Рассмотрим ряд
Этот ряд сходится к непрерывной функции, так как он мажорируем Действительно; при любом 
его члены по абсолютной величине меньше членов числового сходящегося ряда с положительным» членами
Напишем ряд, составленный из производных членов исходного ряда:
Этот ряд расходится. Так, например, при 
он превращается в ряд
(Можно показать, что он расходится не только при 
.)
