§ 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дифференциальное уравнение

имеет общий интеграл

Предположим, что семейство интегральных кривых, соответствующее уравнению (2), имеет огибающую. Докажем, что эта огибающая также является интегральной кривой дифференциального уравнения (1).

Действительно, в каждой своей точке огибающая касается некоторой кривой семейства, т. е. имеет с ней общую касательную. Следовательно, в каждой общей точке огибающая и кривая семейства имеют одинаковые значения величин х, у, у.

Но для кривой из семейства числа х, у, у удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, тому же уравнению удовлетворяют абсцисса, ордината и угловой коэффициент каждой точки огибающей. Но это и означает, что огибающая является интегральной кривой, а ее уравнение является решением данного дифференциального уравнения.

Так как огибающая не является, вообще говоря, кривой семейства, то ее уравнение не может быть получено из общего интеграла (2) ни при каком частном значении С. Решение дифференциального уравнения, не получающееся из общего интеграла ни при каком значении С и имеющее своим графиком огибающую семейства интегральных кривых, входящих в общее решение, называется особым решением дифференциального уравнения.

Пусть известен общий интеграл

исключая С из этого уравнения и уравнения получим уравнение . Если эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (и не принадлежит семейству (2)), то это и есть особый интеграл.

Отметим, что через каждую точку кривой, изображающей особое решение, проходит по крайней мере по две интегральные кривые, т. е. в каждой точке особого решения нарушается единственность решения.

Заметим, что точка, в которой нарушается единственность решения дифференциального уравнения., т. е. точка, через которую проходит по крайней мере две интегральные кривые, называется особой точкой Таким образом, особое решение состоит из особых точек.

Пример. Найти особое решение уравнения

Решение. Найдем его общий интеграл. Разрешим уравнение относительно

Разделяя переменные, получим

Отсюда, интегрируя, находим общий интеграл

Легко видеть, что семейство интегральных линий представляет собой семейство окружностей радиуса R с центрами на оси абсцисс. Огибающей семейства кривых будет пара прямых .

Функции удовлетворяют дифференциальному уравнению . Следовательно, это есть особый интеграл.