§ 5. Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в полярной системе координат задана такая область что каждый луч, проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу области D не более чем в двух точках. Предположим, что область D ограничена кривыми

и лучами

причем

(рис. 312). Такую область снова будем называть правильной.

Рис. 312.

Пусть в области D задана непрерывная функция от координат :

Разобьем область D каким-нибудь способом на площадки

Составим интегральную сумму:

где — некоторая точка площадки

Из теоремы существования двойного интеграла следует, что при стремлении наибольшего диаметра площадки к нулю существует предел V интегральной суммы (1). Этот предел V есть, по определению, двойной интеграл от функции по области

Займемся вычислением двойного интеграла в этом случае.

Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения области D на площадки , то мы можем разбить область наиболее удобным способом. Таким наиболее удобным для вычисления способом будет разбиение области с помощью лучей и концентрических окружностей равно наименьшему значению функции — наибольшему значению функции в промежутке

Обозначим через площадку, ограниченную линиями

Площадки будут трех видов: 1) не пересекаемые границей, лежащие в области D; 2) не пересекаемые границей, лежащие вне области D; 3) пересекаемые границей области

Сумма слагаемых, соответствующих пересекаемым границей площадкам, имеет пределом нуль при и потому эти слагаемые мы не будем принимать в расчет. Площадки , которые лежат вне области D, вообще не входят в интегральную сумму и поэтому нас не интересуют. Следовательно, интегральную сумму можно записать следующим образом:

где — произвольная точка площадки .

Двойной знак суммирования здесь следует понимать в том смысле, что мы сначала производим суммирование по индексу i, считая k постоянным (т. е. отбираем все слагаемые, соответствующие площадкам, заключенным между двумя соседними лучами).

Внешний знак суммирования означает, что мы собираем вместе все суммы, получившиеся при первом суммировании (т. е. суммируем по индексу k).

Найдем выражение площади площадки не пересекаемой границей области. Она будет равна разности площадей двух секторов:

или где .

Таким образом, интегральная сумма будет иметь вид

где точка площадки . Вынесем теперь множитель за знак внутренней суммы (это можно сделать, так как он является общим множителем для всех слагаемых этой суммы):

Предположим, что остается постоянным. Тогда выражение, стоящее в скобках, будет стремиться к интегралу

Теперь, полагая, что , окончательно получим

Формула (3) служит для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

Если первое интегрирование производить по 0, а второе по , то получим формулу (рис. 313)

Пусть требуется вычислить двойной интеграл от функции по области D, заданной в прямоугольных координатах: .

Если область D является правильной в полярных координатах , то вычисление данного интеграла можно свести к вычислению двукратного интеграла в полярных координатах.

Рис. 313.

Рис. 314.

Действительно, так как

то, следовательно,

Пример 1. Вычислить объем V тела, ограниченного сферической поверхностью

и цилиндром

Решение. За область интегрирования здесь можно взять основание цилиндра , т. е. круг с центром в точке (0, а) и радиусом а. Уравнение границы этого круга можно записать в виде . Вычислим 1/4 искомого объема V, а именно ту его часть, которая расположена в первом октанте. Тогда в качестве интегрирования придется взять

полукруг, границе которого определяются уравнениями

Подынтегральная функция

Следовательно,

Преобразуем полученный интеграл к полярным координатам :

Определим границы интегрирования. Для этого напишем уравнение данной окружности в полярных координатах: так как

то , или .

Рис. 315.

Рис. 316.

Следовательно, в полярных координатах (рис. 315) границы области определяются уравнениями

а подынтегральная функция имеет вид

Таким образом, получаем

Пример 2. Вычислим интеграл Пуассона

Решение. Вычислим сначала интеграл где область интегрирования D есть круг .

Перейдя в приведенном интеграле к полярным координатам , получаем

Если теперь мы будем неограниченно увеличивать радиус R, т. е. неограниченно расширять область интегрирования, то получим так называемый несобственный кратный интеграл:

Покажем, что интеграл стремится к пределу , если область D произвольной формы расширяется так, что в конце концов любая точка плоскости попадает в область D и остается в ней (такое расширение области D мы будем условно записывать соотношением

Пусть наименьшее и наибольшее расстояния границы области D от начала координат (рис. 317).

Рис. 317.

Так как функция всюду, то справедливы неравенства

или

Так как при очевидно, , то крайние части неравенства стремятся к одному и тому же пределу . Следовательно, к этому пределу стремится и средний член, т. е.

Пусть, в частности, область D - квадрат со стороной 2а с центром в начале координат; тогда

Вынесем теперь за знак внутреннего интеграла сомножитель можно сделать, так как не зависит от переменной интегрирования . Тогда

Положим . Это — постоянное число (зависящее только от а); поэтому

Но последний интеграл также равен f потому что следовательно,

Перейдем в этом равенстве к пределу, заставляя стремиться а к бесконечности (при этом D безгранично расширяется):

Но, как было доказано (см. (5)),

Следовательно,

или

Этот интеграл часто встречается в теории вероятностей и в статистике. Заметим, что непосредственно вычислить этот интеграл (с помощью неопределенного интеграла) мы бы не смогли, так как первообразная от не выражается в элементарных функциях.