§ 6. Вычисление поверхностного интеграла

Вычисление интеграла по кривой поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по плоской области.

Укажем, например, способ вычисления интеграла

Пусть поверхность а такова, что всякая прямая, параллельная оси , пересекает ее в одной точке. Тогда уравнение поверхности

можно написать в виде

Обозначая через D проекцию поверхности о на плоскость Оху, получим (на основании определения поверхностного интеграла)

Учитывая, далее, последнюю из формул (4) § 5, получим

а последнее выражение есть интегральная сумма для двойного интеграла от функции по области D. Поэтому

При этом перед двойным интегралом берется знак плюс, если , и знак минус, если

Если поверхность от не удовлетворяет условию, указанному в начале этого параграфа, то ее разбивают на части, удовлетворяющие этому условию, и вычисляют интеграл по каждой части отдельно.

Аналогично вычисляются интегралы

Доказанное оправдывает запись поверхностного интеграла в форме (2") из § 5.

При этом правую часть равенства можно рассматривать как сумму двойных интегралов по соответствующим проекциям области а, причем знаки этих двойных интегралов (или, как говорят иначе, знаки произведений берутся в соответствии с указанным выше правилом.

Пример 1. Пусть замкнутая поверхность такова, что всякая прямая параллельная оси пересекает ее не более чем в двух точках.

Рассмотрим интеграл

Положительньйм направлением нормали будем считать внешнюю нормаль. В данном случае поверхность можно разбить на две части: нижнюю и верхнюю; их уравнения будут соответственно

Обозначим через D проекцию а на плоскость Оху (рис. 354); тогда

Знак минус у второго интеграла взят потому, что в поверхностном интеграле знак на поверхности нужно взять отрицательным, так как для нее отрицателен.

Рис. 354.

Рис. 355.

Но разность интегралов, стоящих справа в последней формуле, дает объем, ограниченный поверхностью а. Значит, объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью а, равен следующему интегралу по поверхности:

Пример 2. Положительный электрический заряде, помещенный в начале координат, создает векторное поле, так что в каждой точке пространства определяется вектор F по закону Кулона:

где r — расстояние рассматриваемой точки от начала координат; r — единичный вектор, направленный по радиус-вектору данной точки (рис. 355); — постоянный коэффициент. Определить поток векторного поля через сферу радиуса R с центром в начале координат.

Решение. Принимая во внимание, что будем иметь

Но последний интеграл равен площади поверхности а. Действительно, по определению интеграла (учитывая, что ) получим

Следовательно, поток равняется