§ 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах

В математической, физике под струной понимают гибкую упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси Ох от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках . Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе, или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения — говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Рис. 389.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент t (рис. 389).

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости и), то будем предполагать, что длина элемента струны

равняется ее проекции на ось Ох, т. е.

Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рис. 390,

Рассмотрим элемент струны ММ (рис. 390). На концах этого элемента по касательным к струне действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ох углы . Тогда проекция на ось сил, действующих на элемент ММ, будет равна . Так как угол мал, то можно положить да и мы будем иметь

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть — линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет . Ускорение элемента равно Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь

Сокращая на и обозначая получаем уравнение движения

Это и есть волновое уравнение — уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция должна удовлетворять еще граничньш условиям, указывающим, что делается на концазс струны и начальным условиям, описывающим состояние

струны в начальный момент . Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией Таким образом, должно быть

Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией Таким образом, должно быть

Условия (3) и (3") являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть или за 0. Если же то струна будет находиться в покое, следовательно, и

Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Покажем это. Электрический ток в проводе характеризуется величиной и напряжением которые зависят от координаты точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода можем написать, что падение напряжения на элементе равно

Это падение напряжения складывается из омического, равного и индуктивного, равного Итак,

где - сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию v. Сокращая на получаем уравнение

Далее, разность тока, выходящего из элемента и тока, входящего в него за время будет

Она расходуется на зарядку элемента, равную и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную (здесь А — коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на получим уравнение

Уравнения (5) и (6) принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию и уравнение, содержащее только искомую функцию v(x, t). Продифференцируем члены уравнения (6) по члены уравнения (5) продифференцируем по и умножим их на С. Производя вычитание, получим

Подставляя в последнее уравнение выражение из уравнения (5), получим

или

Аналогичным образом получается уравнение для определения :

Если можно пренебречь утечкой через изоляцию и сопротивлением то уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения

где обозначено Исходя из физических условий, формулируются граничные и начальные условия задачи.