§ 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона

В соответствии с формулой (3) § 12 определим вероятность того, что значение случайной величины с плотностью распределения

попадает в интервал :

или

(рис. 432). Сделаем замену переменной

Получаем

Справа стоящий интеграл не выражается через элементарные функции. Значения этого интеграла выражаются через значения интеграла вероятностей

Укажем некоторые свойства функции которыми мы будем пользоваться ниже.

Рис. 432.

Рис. 433,

1. определена при всех значениях х.

4. монотонно возрастает на интервале

5. - функция нечетная, так как

6. График функции изображен на рис. 433.

Составлены подробные таблицы значений этой функции. Краткая таблица приведена в конце книги (см. табл. 1).

Перепишим равенство , пользуясь теоремой о разбиении промежутка интегрирования:

Последнее равенство можно переписать так:

Пользуясь функцией окончательно выразим вероятность попадания случайной величины подчиненной нормальному закону, в интервал

При получаем

Приравняв правые части равенств (1) для случая и равенства (5), получаем

Часто приходится вычислять вероятность того, что значение случайной величины попадает в интервал симметричный относительно точки

Рис. 434,

В этом случае формула (4) принимает вид

Учитывая, что формулу (3)), окончательно получаем

Правая часть не зависит от положения центра рассеивания, следовательно, и при получаем

Пример 1. Случайная величина подчинена нормальному закону распределения с центром рассеивания и дисперсией Определить вероятность того, что значение случайной величины попадет в интервал (0,4; 0,6) (рис. 435).

Рис. 435.

Решение. Здесь

По формуле (4) получаем

Но (см. формулу (3)), поэтому можем написать

По таблице значений функции (см. табл. 1 В конце книги) находим

Пример 2. Длина изготовляемой автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по Нормальному закону с параметрами Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 10 ± 0,05.

Решение. В нашем случае . Вероятность брака в соответствии с формулой (4) выразится так:

Пример 3. Определить вероятность попадания в полосу шириной если ошибки стрельбы подчиняются нормальному закону распределения с параметрами

Решение. В нашем случае, . По формуле (7) получаем

Замечание. Вместо функции часто пользуются функцией Лапласа

Эта функция Лапласа связана с функцией простым соотношением.

Сделав в интеграле (8) замену получаем

Итак,

и, очевидно,

Формула (5) с использованием функции и соотношения (9) запишется так:

и при

Таблица значений функции Лапласа помещена в конце книги (см. табл. 3).

Рис. 436.

Определим далее интегральную функцию нормального закона распределения. По формуле (1) § 13 имеем:

Пользуясь формулой (4) для случая получаем,

но (см. формулу (3)). Следовательно,

График функции при изображен на рис. 436.