§ 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка

Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения второго порядка. Пусть имеем уравнение

Обозначим через угол, который касательная к кривой образует с положительным направлением оси тогда

Чтобы выяснить геометрический смысл второй производной, вспомним формулу, определяющую радиус кривизны кривой в данной точке,

Отсюда

Но

поэтому

Подставляя теперь в уравнение (1) полученные выражения для , будем иметь

или

Отсюда видно, что дифференциальное уравнение второго порядка определяет величину радиуса кривизны интегральной линии, если заданы координаты точки и направление касательной в этой точке.

Рис. 272.

Из предыдущего вытекает способ приближенного построения интегральной кривой при помощи гладкой кривой, составленной из дуг окружностей. Пусть, например, требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим начальным условиям:

Через точку проведем луч с угловым коэффициентом Из уравнения (4) найдем величину Отложим отрезок равный на перпендикуляре к направлению и из точки как из центра, опишем небольшую дугу радиусом Заметим при этом, что если то отрезок нужно направлять в ту сторону, чтобы дуга окружности была обращена выпуклостью вверх, а при выпуклостью вниз (см. сноску на предыдущей странице).

Пусть, далее, координаты точки лежащей на построенной дуге и достаточно близкой к точке угловой коэффициент касательной к проведенной окружности в точке Из уравнения (4) найдем соответствующее точке значение Проведем отрезок перпендикулярный к равный и из точки как из центра, опишем дугу радиусом Затем на этой дуге возьмем близкую к точку и продолжаем таким образом построение, пока не получим достаточно большой кусок кривой, состоящей из дуг окружностей. Из предыдущего ясно, что эта кривая приближенно является интегральной линией, проходящей через точку Очевидно, что построенная кривая будет тем ближе к интегральной кривой, чем меньше будут дуги