§ 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье

Пусть на некотором отрезке задана кусочно монотонная функция f(x) (рис. 384). Покажем, что данную функцию f(x) в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда

Рис. 384.

Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию с периодом , совпадающую с функцией на отрезке . (Мы дополнили определение функции )

Разложим функцию в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка (кроме точек - разрыва) совпадает с заданной функцией т. е. мы разложили функцию f(х) вряд Фурье на отрезке

Рассмотрим, далее, следующий важный случай. Пусть функция f(x) задана на отрезке Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке (сохраняя кусочную монотонность), мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним определение данной функции так, чтобы при было в результате получится четная функция (рис. 385). (В этом случае говорят, что функция «продолжена четным образом».) Эту функцию разлагают в ряд Фурье, который содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке функцию мы разложили по косинусам.

Если же мы продолжим определение функции при то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам (рис. 386). (Функция «продолжена нечетным образом».) Таким образом, если на отрезке задана некоторая кусочно монотонная функция ее можно разложить в ряд Фурье как по косинусам; так и по синусам.

Рис. 385.

Рис. 386.

Пример I. Пусть требуется разложить функцию на отрезке в ряд по синусам.

Решение. Продолжая эту функцию нечетным] образом (рис. 375), получим ряд

(см. пример 1 § 2).

Пример 2. Разложить функцию на отрезке в ряд по косинусам.

Решение. Продолжая эту функцию четным, образом, мы получим

(рис. 376). Разлагая ее в ряд, найдем

(см. пример 2 § 2). Итак, на отрезке [0, я] имеет место равенство