§ 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов
Интегрируя равенство (4) § 19 в пределах от 0 до 
получим
или
Это равенство справедливо в интервале 
Если в этой формуле заменить 
на 
то получается ряд
который сходится в интервале 
С помощью рядов (1) и (2) можно вычислять логарифмы чисел, заключенных между нулем и двумя. Отметим, без доказательства, что при 
разложение (1) также справедливо.
Выведем формулу для вычисления натуральных логарифмов любых целых чисел. 
Так как при почленном вычитании» двух сходящихся рядов получается ряд сходящийся (см. § 1, теорему 3), то, вычитая
почленно равенство (2) из равенства (1), находим
Положим далее, 
тогда 
При любом 
имеем 
поэтому
откуда
При 
отсюда получаем
Для вычислёния 
с заданной степенью точности S надо подсчитать частичную сумму 
выбрав число 
ее членов так, чтобы сумма отброшенных членов (т. е. погрешность 
совершаемая при замене s на 
) была меньше допустимой погрешности 6. Для этого оценим погрешность 
Так как числа 
больше 
то, заменяя их на 
мы Увеличим каждую дробь. Поэтому
или
Ряд, стоящий в квадратных скобках, есть геометрическая прогрессия со знаменателем 
Подсчитывая сумму этой прогрессии, найдем
Если мы хотим теперь подсчитать 
например, с точностью до 0,000000001, то надо выбрать 
так, чтобы было 
Этого можно добиться, подобрав 
так, чтобы правая часть неравенства была меньше 0,000000001. Непосредственным подбором находим, что достаточно взять 
Итак,
с точностью до 0,000000001 имеем
Итак, 
. При этом эти девять знаков верные. Полагая в формуле 
получаем
Таким образам, мы можем получить натуралыгае логарифмы любых целых чисел.
Чтобы получить десятичные логарифмы. чисел, нужно воспользоваться (см. § 8 гл. II т. I) соотношением
где 
. Тогда, например, получим
