§ 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок

При проведении практических вычислений за единицу измерения отклонения случайной величины, подчиненной нормальному закону от ее центра рассеивания (математического ожидания), принимают среднеквадратичное отклонение а. Тогда на основании формулы (7) § 17 получаются полезные при различных вычислениях равенства

Эти результаты геометрически изображены на рис. 439.

Почти достоверно, что случайная величина (ошибка) не отклонится от математического ожидания по абсолютной величине больше чем на Это предположение называют правилом трех сигм.

В теории стрельбы и при обработке различных статистических материалов бывает полезно знать вероятность попадания случайной величины в интервалы (0, Е),

при плотности распределения, определяемой по формуле (1) § 19. Знание этих вероятностей во многих случаях сокращает вычисления и помогает при анализе явлений.

Рис. 439.

Рис. 440.

При вычислении этих вероятностей будем пользоваться формулой (8) § 19 и таблицей функции

Результаты вычислений геометрически изображены на рис. 440, который называется шкалой рассеивания ошибок. Из этих расчетов следует, что практически достоверно, что значение случайной величины попадает в интервал Вероятность того, что значение случайной величины попадает вне этого интервала, меньше 0,01.

Рис. 441.

Пример 1. Производится один выстрел по полосе шириной 100 м. Прицеливание рассчитывалось на среднюю линию полосы, которая перпендикулярна к плоскости полета снаряда. Рассеивание подчиняется нормальному закону с вероятным отклонением по дальности Определить вероятность попадания в полосу (рис. 441). Срединное отклонение по дальности в теории стрельбы обозначают боковое .

Решение. Воспользуемся формулой (7) § 19. В нашем случае . Следовательно,

Замечание. Приближенно можно было бы решить задачу, не пользуясь таблицами функции , а воспользоваться шкалой рассеивания (рис. 440).

В нашем случае Следовательно,

Пример 2. Опытом установлено, что ошибка прибора для измерения дальности подчиняется нормальному закону со срединной ошибкой . Определить вероятность того, что определенная этим прибором дальность будет отклоняться от истинной не более чем на

Решение. В данном случае . По формуле (7) § 19 получаем: