§ 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи

Пусть требуется найти решение системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

удовлетворяющие начальным условиям

Если ввести в рассмотрение, наряду с матрицей коэффициентов системы и матрицей решений, матрицу начальных значений

то систему уравнений (1) с начальными условиями (2) запишем так:

при начальных условиях

Здесь снова матрица коэффициентов системы.

Будем решать задачу методом последовательных приближений. Для лучшего понимания дальнейшего материала применим метод последовательных приближений сначала для одного линейного уравнения первого порядка (см. гл. XVI, § 26).

Требуется найти решение одного уравнения

при начальном условии

Будем предполагать, что -непрерывная функция.

Как указывалось в § 26 гл. XVI, решение дифференциального уравнения (6) при начальном условии (7) сводится к решению интегрального уравнения

Будем решать это уравнение методом последовательных приближений:

Вводят для сокращения письма оператор S-оператор интегрирования

Используя оператор S, равенства (9) записывают так:

Раскрывая скобки, получаем:

Вынося за скобки ( - постоянная), получаем

Выше (в § 26 гл. XVI) было доказано, что если - непрерывная функция, то последовательность сходится. Предел этой последовательности есть сходящийся ряд:

Замечание. Если то формула (12) принимает простой вид. Действительно, на основании (10) можем написать

В этом случае (12) принимает вид

или

Рассмотренный метод решения одного уравнения (6) целиком переносится на решение системы (1) при начальных условиях (2).

В матричной форме система (1) с начальными условиями (2) запишется так:

при начальном условии

Используя правило умножения матриц и интегрирования матриц, решение системы (14) при условии (15) сводится к решению матричного интегрального уравнения

Находим последовательные приближения

Путем последовательной подстановки последовательных приближений под интеграл решение системы в матричной форме выразится так:

или

Используя оператор интегрирования S, равенства (18) можно написать так:

Оператор, стоящий в квадратных скобках, обозначают одной буквой. Обозначим его через Равенство (19) коротко записывают так:

Интересно отметить следующее обстоятельство. Если коэффи циенты системы (1) постоянные, то, пользуясь правилом вынесения за знак матрицы общего множителя всех членов матрицы можем написать

Формула (19) в случае постоянных коэффициентов примет вид

Последнее равенство символически записывают так: