§ 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
В главах X и XI (т. 1) было указано, что существуют определенные интегралы, которые как функции верхнего предела не выражаются в конечном виде через элементарные функции. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять а помощью рядов» Рассмотрим здесь несколько примеров.
1. Пусть требуется, вычислить интеграл
Здесь первообразная от 
не является элементарной функцией Для вычисления этого интеграла, разложим подынтегральную функцию в ряд, заменяя в разложении 
(см. формулу (2) § 17) х на 
Интегрируя обе части этого равенства 
пределах от 0 до 
получим
С помощью этого равенства мы можем при любом а вычислить данный интеграл с любой степенью точности.
2. Требуется вычислить интеграл
Разложим подынтегральную функцию в ряд: из равенства
докучаем
причем последний ряд сходится при всех значениях 
Интегрируя почленно, получим
Сумма ряда легко вычисляется с любой степенью точности при любом а.
3. Вычислить эллиптический интеграл
Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд, положив 
формулу (5) § 19):
Этот ряд сходится при всех значениях 
допускает почленное интегрирование, так как он мажорируем на любом интервале. Поэтому
Интегралы, стоящие справа, вычисляются элементарно. При 
имеем
(см. § 6 гл. XI т. I) и, следовательно,
