§ 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа

Пусть случайная величина, например результат измерения, а — измеряемая величина, - ошибка измерения. Тогда эти величины связаны соотношением

Многочисленные опыты и наблюдения показывают, что ошибки измерений после исключения систематической ошибки, т. е. такой ошибки, которая постоянна при всех измерениях (например, ошибка прибора), или такой, которая изменяется по известному закону от измерения к измерению, и после исключения грубых ошибок подчиняются нормальному закону распределения с центром распределения в начале координат. Это подтверждается и теоретическими обоснованиями.

Если случайная величина является суммой большого числа случайных величин, то при некоторых ограничениях эта сумма подчиняется нормальному закону распределения. Это утверждение формулируется в виде так называемой центральной предельной теоремы, принадлежащей А. М. Ляпунову (1857—1918). Мы здесь сформулируем эту теорему в несколько упрощенном виде.

Теорема 1. Если независимые случайные величины имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием а (не нарушая общности, можно предполагать, что и дисперсией то при неограниченном увеличении закон распределения суммы как угодно мало отличается от нормального нормирована так, что

Практическая значимость теоремы Ляпунова заключается в следующем. Рассматривается случайная величина, например, отклонение некоторой величины от заданной. Это отклонение вызвано действием многих факторов, каждый из которых дает некоторую составляющую отклонения, например, в случае стрельбы отклонение точки попадания от точки прицеливания происходит из-за ошибки наводки, ошибки определения дальности, ошибки изготовления снаряда и т. д. Все составляющие нам даже не известны, также как могут оказаться неизвестными законы распределения составляющих случайных величин. Но из теоремы Ляпунова следует, что случайная величина — общее отклонение — подчиняется нормальному закону.

Из теоремы Ляпунова следует, что если - результаты измерений некоторой величины (каждая из - случайная величина), то случайная величина — среднее арифметическое

- при достаточно большом подчиняется закону распределения, как угодно близкому к нормальному, если случайные величины подчиняются одному и тому же закону распределения.

Теорема остается справедливой и для суммы случайных величин с неодинаковыми законами распределения при некоторых дополнительных условиях, которые, как правило, для рассматриваемых на практике - случайных величин выполняются. Как показывает опыт, при числе слагаемых порядка 10 уже можно считать их сумму нормально распределенной.

Обозначим через приближенные значения математического ожидания и дисперсии. Тогда можем написать приближенно законы распределения случайных величин б и х:

Параметр а на основании экспериментальных данных определяется по формуле (1) § 29:

Это следует из так называемой теоремы Чебышева (1821— 1894). Не останавливаясь на доказательстве, укажем, что параметр а естественнее определять не по формуле (3) § 29, а по формуле

Отметим, что правая часть в формуле (5) и правая часть в формуле (3) § 29 отличаются множителем который в практических задачах близок к 1.

Пример 1. Написать выражение закона распределения случайной величины на основании результатов измерений, приведенных в примере § 28, и результатов вычислений, приведенных в примере § 29.

Решение. На основании вычислений, приведенных в примере § 29, получаем

Подставляя в формулу (3), получаем 4

Замечание. Если получена статистическая функция распределения для некоторой случайной величины то вопрос о том, следует ли считать данную случайную величину подчиняющейся нормальному закону распределения или нет, иногда решают так.

Пусть имеем значения случайной величины Определяем среднее арифметическое значение а по формуле (4). Определяем значения центрированной случайной величины Абсолютные величины значений располагают в ряд в возрастающем порядке. Если нечетное, то за срединное отклонение или срединную, ошибку принимают ту абсолютную величину в составленном ряде абсолютных величин, которая занимает 1-е место, а если — четное, то за принимают среднее арифметическое абсолютных величин, стоящих на местах с номерами

Составим, далее, среднеарифметическую ошибку по формуле

По формуле (5) определяем среднеквадратичное отклонение

Далее определяем отношения

Для случайной величины, подчиненной нормальному закону, отношения и соответственно равны 0,8453 и 0,6745 (см. формулу (6) § 22). Если отношения отличаются от 0,8453 и 0,6745 на величину порядка 10%, то условно принимают, что случайная величина у подчиняется нормальному закону.

Следствием центральной предельной теоремы является важная теорема Лапласа о вероятности того, что событие появится не менее а раз и не более раз. Приведем эту теорему без доказательства.

Теорема 2 (Лапласа). Если производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А

есть , то справедливо соотношение

где — число появлений события вероятность того, что число появлений события А заключено между . Функция определена на с. 478. Покажем применение теоремы Лапласа для решения задач.

Пример 2. Вероятность брака при производстве некоторых деталей Определить вероятность того, что в 1000 деталях окажется не более 20 бракованных.

Решение. В данном случае

Далее находим

По формуле (8) получаем:

По таблицам функции находим

Отметим, что теоремы Бернулли, Ляпунова, Чебышева, Лапласа, о которых говорилось выше, составляют так называемый закон больших чисел теории вероятностей.