§ 11. Собственный вектор линейного преобразования

Определение 1. Пусть дан вектор

где

Если после преобразования вектора X с помощью матрицы (см. (2) § 5) получается вектор

параллельный вектору X:

где к — число, то вектор X называется собственным вектором матрицы А или собственным вектором данного линейного преобразования, число К называется собственным значением.

Найдем собственный вектор

для данного линейного преобразования или для данной матрицы А. Чтобы вектор X был собственным вектором матрицы А, необходимо, чтобы выполнялись равенства (2) и (3). Приравнивая правые части этих равенств, получаем:

или

т. е.

Из этого равенства следует, что вектор X определяется с точностью до постоянного множителя.

В развернутом виде равенство (4) записывается, очевидно, так:

а равенство (5) запишется так:

Получили систему однородных линейных уравнений для определения координат вектора X. Чтобы система (7) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

или

Это есть уравнение третьей степени относительной. Оно называется характеристическим уравнением матрицы А. Из этого уравнения находятся собственные значения X.

Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим их через

Каждому собственному значению соответствует собственный вектор, координаты которого определяются из системы (7) при соответствующем значении Обозначим собственные векторы через Можно показать, что эти векторы линейно независимы, т. е. ни один из них не выражается через остальные. Следовательно, любой вектор можно выразить через векторы т. е. их можно принять за базисные векторы.

Отметим без доказательства, что все корни характеристического уравнения симметрической матрицы действительны.

Пример 1. Найти собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения:

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению из соответствующей системы уравнений (7):

Решая эту систему, находим , где — произвольное число. Собственный вектор будет

Для собственного значения пишем систему уравнений

Собственный вектор будет

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Напишем характеристическое уравнение

Корни этого уравнения суть

Для собственный вектор определяется из системы уравнений

Полагая , получаем Собственный вектор

Аналогично находим