§ 2. Определения

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную искомую функцию y = f(x) и ее производные

Символически дифференциальное уравнение можно написать так:

или

Если искомая функция y = f(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В настоящей главе мы будем заниматься только обыкновенными дифференциальными уравнениями

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Так, например, уравнение

есть уравнение первого порядка.

Уравнение

есть уравнение второго порядка и т. д.

Уравнение, рассмотренное в предыдущем параграфе в примере 1, является уравнением первого порядка, а в примере 2 — уравнением второго порядка.

Определение 3. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Пример 1. Пусть мы имеем уравнение

Функция и вообще функции вида или являются решениями данного уравнения при любом выборе постоянных в этом легко убедиться, подставив указанные функции в уравнение.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

Его решениями будут все функции вида , где С — любая постоянная. Действительно, дифференцируя функцию находим . Подставляя выражения в исходное уравнение, получаем тождество

Каждое из уравнений, рассмотренных в примерах 1 и 2, имеет бесчисленное множество решений.