§ 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье
Приведем примеры разложения функций в ряды Фурье.
Рис. 374.
Пример 1. Периодическая функция f(х) с периодом 
определена следующим образом: 
Эта функция кусочно монотонная и ограниченная (рис. 375). Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье.
По формуле (4) § 1 находим
Применяя формулу (5) § 1 и интегрируя по частям, найдем
По формуле (6) § 1 находим
Таким образом, получаем ряд
Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю.
Рис. 375.
Рис. 376.
Пример 2. Периодическая функция 
с периодом 
оцределена следующим образом:
(т. е. 
) (рис. 376). Эта функция тоже кусочно монотонна и ограничена на отрезке 
.
Определим ее коэффициенты Фурье:
И
Таким образом, получаем ряд
Этот ряд сходится во всех точках, 
сумма равна данной функции.
Рис. 377
Пример 3. Периодическая с периодом 
функция 
определена следующим образом;
Эта функция (рис; 377) кусочно монотонна и ограничена на отрезке 
Вычислим ее коэффициенты Фурье:
Следовательно, для рассматриваемой функции, ряд Фурье имеет вид
Это равенство справедливо во всех точках кроме точек разрыва.
На рис. 378 наглядно показано, как частичные суммы 
ряда все точнее и точнее представляют функцию f (х) с увеличением 
.
Пример 4. Периодическая с периодом 
функция 
определена следующим образом;
(см. скан)
Рис. 378.
Определим ее коэффициенты Фурье:
Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид
Так как функция кусочно монотонна, ограничена и непрерывна, то это равенство выполняется во всех точках.
Рис. 379,
Полагая в полученном равенстве 
получим
Пример 5. Периодическая с периодом 
функция f (х) определена следующим образом: 
Определим коэффициенты Фурье:
Таким образом, ряд Фурье будет иметь вид
В точках разрыва функции 
сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева (т. е. в данном случае числу 
Рис. 380,
Полагая в полученном, равенстве 
получаем
