ГЛАВА XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии

Пусть функция y = f(x) отражает количественную сторону некоторого явления. Часто, рассматривая это явление, мы не можем непосредственно установить характер зависимости у от х, а можем установить зависимость между величинами х и у и производными от у по т. е. написать дифференциальное уравнение.

Из полученной зависимости между переменными у и производными требуется установить непосредственную зависимость у от х, т. е. найти y = f(x) или, как говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. С некоторой высоты сброшено тело, масса которого т. Требуется установить, по какому закону будет изменяться скорость v падения этого тела, если на него, кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (с коэффициентом пропорциональности k), т. е. требуется найти

Решение. По второму закону Ньютона

где есть ускорение движущегося тела (производная от скорости по времени), сила, действующая на тело в направлении движения. Эта сила складывается из двух: силы тяжести и силы сопротивления воздуха - (мы берем ее с минусом, так как она направлена в сторону, противоположную направлению скорости). Итак,

Мы получили соотношение, связывающее неизвестную функцию о и ее производную т. е. дифференциальное уравнение относительно

неизвестной функции v. (Это уравнение движения некоторых типов парашютов.) Решить дифференциальное уравнение — это значит найти такую функцию которая тождественно удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Таких функций имеется бесконечное множество.

Читатель легко проверит, что всякая функция вида

удовлетворяет уравнению (1), каково бы ни было постоянное число С. Какая же из этих функций даст искомую зависимость u от t? Для того чтобы ее найти, используем дополнительное условие: при сбрасывании тела ему была придана начальная скорость (которая, в частности, может быть равной нулю); мы предполагаем эту начальную скорость известной. Но тогда искомая функция должна быть такова, чтобы при начале движения) выполнялось условие Подставляя в формулу (2), найдем

Рис. 250.

Таким образом, постоянная С найдена. Следовательно, искомая зависимость v от t такова:

Из этой формулы следует, что при достаточно больших t скорость v мало зависит от

Заметим, что если k = 0 (т. е. сопротивление воздуха отсутствует или оно столь мало, что мы можем им пренебречь), то мы получаем известный из физики результат:

Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию при

Пример 2. Гибкая однородная нить подвешена за два конца. Найти уравнение кривой, по которой расположится нить под действием собственного веса (так располагаются подвешенные канаты, провода, цепи).

Решение. Пусть наиболее низкая точка нити, М — ее произвольная точка (рис. 250). Рассмотрим часть нити . Эта часть находится в равновесии под действием трех сил:

1) натяжение Т, действующее по касательной в точке М и составляющее с осью угол

2) натяжение Н в точке действующее горизонтально;

3) вес нити направленный вертикально вниз, где s — длина дуги линейный удельный вес нити.

Разлагая натяжение Т на горизонтальную и вертикальную составляющие, получим уравнение равновесия:

Деля члены второго равенства на составляющие члены первого, получим

Положим теперь, что уравнение искомой кривой можно записать в виде . Здесь неизвестная функция, которую надлежит найти. Заметим, что

Следовательно,

где через а обозначено отношение .

Продифференцируем обе части равенства (4) по

Но, как известно (см. § I гл. VI),

Подставляя значение в уравнение (5), получим дифференциальное уравнение искомой кривой:

Оно выражает связь между первой и второй производными от неизвестной функции у.

Не останавливаясь на методах решения уравнений, укажем, что всякая функция вида

удовлетворяет уравнению (б) при любых значениях постоянных в чем можно легко убедиться, подставив первую и вторую производные указанной функции в уравнение (6). Укажем далее без доказательства, что этими функциями (при различных исчерпываются все возможные решения уравнения (6). Это будет показано в § 18.

Графики всех полученных таким образом функций называются цепными линиями.

Выясним теперь, как надо подобрать постоянные чтобы получить именно ту цепную линию, низшая точка М которой имеет координаты Так как при точка цепной линии занимает наинизшее положение, то в этой точке касательная горизонтальна, т. Кроме того, по условию, в этой точке ордината равна 6, т. е.

Из уравнения (7) находим

Подставляя сюда получим Следовательно,

Если ордината точки есть b, то при

Из уравнения (7), полагая получаем откуда Окончательно находим

Уравнение (7) принимает особенно простой вид, если ординату точки взять равной числу а. Тогда уравнение цепной линии будет