§ 14. Квадратичные формы и их преобразования
Определение 1. Квадратичной формой от нескольких переменных называется однородный многочлен второй степени от этих переменных.
Квадратичная форма от трех переменных 
имеет вид
где 
заданные числа, коэффициенты 2 взяты для того, чтобы получить более простые последующие формулы.
Равенство (1) можно написать так:
где 
- заданные числа, при этом
Матрица
называется матрицей квадратичной формы (1). Данная матрица симметричная.
Будем считать 
координатами точки пространства или координатами вектора в ортогональном базисе 
где 
- единичные векторы.
Рассмотрим линейное преобразование в базисе 
Матрица этого преобразования совпадает с матрицей квадратичной формы.
Определим далее два вектора
Преобразование (5) запишем в форме
Тогда квадратичную форму (2) можно представить как скалярное произведение этих векторов:
Пусть 
- ортогональные собственные векторы преобразования (8), соответствующие собственным значениям 
Можно доказать, что если матрица симметрична, то существует ортогональный базис, составленный из собственных векторов матрицы. Произведем преобразование (8) в базисе 
Тогда матрица преобразования в этом базисе будет диагональной
(см. § 12):
Можно показать, что применяя это преобразование к квадратичной форме (1), можно привести последнюю к виду
Направления собственных векторов 
называются главными направлениями квадратичной формы.
