Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
106. Формулы приведения.
Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические функции углов
а через тригонометрические функции угла а, где а — произвольный (допустимый) угол. Сами тригонометрические функции этих углов будем называть приводимыми тригонометрическими функциями. Будем говорить для краткости, что углы
образованы откладыванием угла а от оси Ох (от горизонтальной оси), а углы
образованы откладыванием угла а от оси Оу (от вертикальной оси).
Пользуясь возможностью произвольного выбора угла а в формулах (105.1) — (105.4), получим новые важные формулы (мы ограничимся функциями
).
а) Заменив в формулах (105.1) - (105.4) а на
получим
б) Заменив в формулах (106.1) a на
, а следовательно,
на
, получим
(мы снова воспользовались тем, что формулы (106.1) справедливы для произвольного угла а). Так как я является основным периодом для
(см. п. 104), то
в) Аналогично получим
Рекомендуем читателю доказать, что
г) Заменив в формулах (106.2) и (106.3) а на —а, получим
д) Заменив в формулах (106.4) и (106.5) а на —а, получим
е) В силу того, что
является периодом для всех основных тригонометрических функций, будем иметь
ж) Аналогично e), будем иметь
Рекомендуем читателю написать формулы, аналогичные формулам (106.1)-(106.8), для углов в градусной мере, заменив в последних
на
на 270° и
на 360°.
Пример 1. Пользуясь формулами приведения, найти значения следующих тригонометрических функций (или выразить их через значения тригонометрических функций острых углов):
Решение,
Пример 2. Найти
если
Решение.
Сформулируем теперь общее правило приведения:
1) если угол а откладывается от вертикальной оси
, то название приводимой функции меняется на сходное; если же угол а откладывается от горизонтальной оси (углы —а,
), то название приводимой функции сохраняется;
2) если приводимая функция имеет отрицательное значение, то нужно соответствующую функцию угла а взять со знаком минус, если же приводимая функция имеет неотрицательное значение, то нужно соответствующую функцию угла а взять со знаком плюс.
Проиллюстрируем это правило на примере угла
. Заметим еще раз, что правило приведения справедливо для любого угла а, но для простоты запоминания и иллюстрации этого правила мы считаем а острым положительным углом.
Итак, на рис. 110 угол
. Требуется выразить тригонометрические функции угла
через тригонометрические функции острого положительного угла а. Заметим, что угол
.
Рис. 110.
Согласно правилу приведения нужно выяснить:
1) соответствующие названия тригонометрических функций; 2) знаки приводимых тригонометрических функций.
1) Так как угол а откладывается от горизонтальной оси (угол
имеет вид
), то названия приводимых функций сохраняются.
Учитывая 1) и 2), имеем
так как
, то
Мы пришли к формулам (106.2) и (106.3). Рекомендуем читателю проиллюстрировать на чертеже типа рис. 110 правило приведения для остальных углов
Мы формулировали определения и правило для случаев, когда углы измерялись в радианах, но
остается в силе, если всюду заменить
на 90°,
на
на 360°, а угол а считать заданным в градусной мере.
Объединим полученные для формул приведения результаты в следующую таблицу.
Для произвольного угла
, где 0°а < 360° (см. формулу (96.1)), или
, где
, если угол дан в радианах, задача отыскания
с помощью формул (104.1) и (104.2) сводится к отысканию тригонометрических функций угла а.
Пример 3. Дан угол
Найти
.
Решение. Представим данный угол в виде
. Применив формулы (104.1) и (104.2), получим
Заметим, что тангенс и котангенс можно было бы вычислить и так:
Пример 4. Найти
, если
. Решение. Представим данный угол в виде
Применив формулы (104.1), получим
Тангенс и котангенс найдем следующим образом:
Пример 5. Имеем угол
. Найти
.
Решение. Представим данный угол в виде
. Применив формулы (104.1) и (106.1), получим
Пример 6. Найти
Решение.
Пример 7. Найти
Решение.
Пример 8. Доказать тождество
Решение. Применив формулы приведения, получим в левой
части предполагаемого тождества
. Далее,
т. e. левая часть равна 1. Мы пришли к верному равенству, что и доказывает наше тождество.
Упражнения
1. Заменить значения данных тригонометрических функций значениями тригонометрических функций дополнительных углов:
2. Найти значения следующих тригонометрических функций (или выразить их через значения тригонометрических функций острых углов):
3. Найти
если
.
4. Вычислить:
5. Упростить выражение
6. Значения данных тригонометрических функций привести к значениям тригонометрических функций неотрицательных острых углов:
7. Вычислить выражение
зная, что
.
8. Доказать тождество