106. Формулы приведения.

Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические функции углов а через тригонометрические функции угла а, где а — произвольный (допустимый) угол. Сами тригонометрические функции этих углов будем называть приводимыми тригонометрическими функциями. Будем говорить для краткости, что углы образованы откладыванием угла а от оси Ох (от горизонтальной оси), а углы образованы откладыванием угла а от оси Оу (от вертикальной оси).

Пользуясь возможностью произвольного выбора угла а в формулах (105.1) — (105.4), получим новые важные формулы (мы ограничимся функциями ).

а) Заменив в формулах (105.1) - (105.4) а на получим

б) Заменив в формулах (106.1) a на , а следовательно, на , получим

(мы снова воспользовались тем, что формулы (106.1) справедливы для произвольного угла а). Так как я является основным периодом для (см. п. 104), то

в) Аналогично получим

Рекомендуем читателю доказать, что

г) Заменив в формулах (106.2) и (106.3) а на —а, получим

д) Заменив в формулах (106.4) и (106.5) а на —а, получим

е) В силу того, что является периодом для всех основных тригонометрических функций, будем иметь

ж) Аналогично e), будем иметь

Рекомендуем читателю написать формулы, аналогичные формулам (106.1)-(106.8), для углов в градусной мере, заменив в последних на на 270° и на 360°.

Пример 1. Пользуясь формулами приведения, найти значения следующих тригонометрических функций (или выразить их через значения тригонометрических функций острых углов):

Решение,

Пример 2. Найти если

Решение.

Сформулируем теперь общее правило приведения:

1) если угол а откладывается от вертикальной оси , то название приводимой функции меняется на сходное; если же угол а откладывается от горизонтальной оси (углы —а, ), то название приводимой функции сохраняется;

2) если приводимая функция имеет отрицательное значение, то нужно соответствующую функцию угла а взять со знаком минус, если же приводимая функция имеет неотрицательное значение, то нужно соответствующую функцию угла а взять со знаком плюс.

Проиллюстрируем это правило на примере угла . Заметим еще раз, что правило приведения справедливо для любого угла а, но для простоты запоминания и иллюстрации этого правила мы считаем а острым положительным углом.

Итак, на рис. 110 угол . Требуется выразить тригонометрические функции угла через тригонометрические функции острого положительного угла а. Заметим, что угол .

Рис. 110.

Согласно правилу приведения нужно выяснить:

1) соответствующие названия тригонометрических функций; 2) знаки приводимых тригонометрических функций.

1) Так как угол а откладывается от горизонтальной оси (угол имеет вид ), то названия приводимых функций сохраняются.

Учитывая 1) и 2), имеем

так как , то

Мы пришли к формулам (106.2) и (106.3). Рекомендуем читателю проиллюстрировать на чертеже типа рис. 110 правило приведения для остальных углов

Мы формулировали определения и правило для случаев, когда углы измерялись в радианах, но остается в силе, если всюду заменить на 90°, на на 360°, а угол а считать заданным в градусной мере.

Объединим полученные для формул приведения результаты в следующую таблицу.

Для произвольного угла , где 0°а < 360° (см. формулу (96.1)), или , где , если угол дан в радианах, задача отыскания с помощью формул (104.1) и (104.2) сводится к отысканию тригонометрических функций угла а.

Пример 3. Дан угол Найти .

Решение. Представим данный угол в виде . Применив формулы (104.1) и (104.2), получим

Заметим, что тангенс и котангенс можно было бы вычислить и так:

Пример 4. Найти , если . Решение. Представим данный угол в виде

Применив формулы (104.1), получим

Тангенс и котангенс найдем следующим образом:

Пример 5. Имеем угол . Найти .

Решение. Представим данный угол в виде . Применив формулы (104.1) и (106.1), получим

Пример 6. Найти

Решение.

Пример 7. Найти

Решение.

Пример 8. Доказать тождество

Решение. Применив формулы приведения, получим в левой части предполагаемого тождества . Далее, т. e. левая часть равна 1. Мы пришли к верному равенству, что и доказывает наше тождество.

Упражнения

1. Заменить значения данных тригонометрических функций значениями тригонометрических функций дополнительных углов:

2. Найти значения следующих тригонометрических функций (или выразить их через значения тригонометрических функций острых углов):

3. Найти если .

4. Вычислить:

5. Упростить выражение

6. Значения данных тригонометрических функций привести к значениям тригонометрических функций неотрицательных острых углов:

7. Вычислить выражение зная, что .

8. Доказать тождество