Ковариантная производная

Мы обозначаем символом V с соответствующими индексами (например, ковариантную производную на (скажем, -мерном) многообразии определенную по отношению к некоторой связности (не обязательно стандартной связности Кристоффеля). При действии на скаляры символ выступает как обычный оператор градиента и связывает обозначение векторного поля в формализме абстрактных индексов с его обозначением V как дифференциального оператора:

Вообще говоря, операторы не коммутируют, и поэтому мы вводим величину

Тогда тензор кручения определяется соотношением

а тензор кривизны — соотношением

(для произвольного скаляра и вектора

Если симиетрический оператор), то выражение для кривизны упрощается: В этом случае для скобки Ли

можно ввести обозначение с абстрактными индексами

В общем случае производная Ли тензорного поля вдоль вектора V имеет вид

Определение скобки Ли и производной Ли не зависит от выбора (симметрической) связности Следовательно, их можно вычислять покомпонентно, заменяя производной

Для обозначения дифференциальных форм мы используем набранный жирным шрифтом коренной символ соответствующего антисимметричного тензора, а индексы (по которым тензор антисимметричен) опускаем. Например,

есть обозначение -формы, причем Вообще говоря, тензор может содержать и другие индексы; тогда набор антисимметризованных индексов идет «раньше»:

Все сказанное относится к общему -мерному случаю; в случае пространства-времени вместо и мы используем символы или Внешнее произведение формы А и С определяется так:

внешняя производная формы А (для симметрической связности

(эти определения справедливы и при наличии дополнительных индексов). Если других индексов нет, то

Равенство (4.3.14) останется справедливым, если связность заменить (локально) любым другим симметрическим оператором, например оператором да., для которого равны нулю и

кручение, и кривизна. Отсюда следует простое доказательство соотношения (4.3.15. III):

Мы иногда пользуемся правилом, что означает а не и таким же правилом для других символов дифференцирования (например, и т. д.). Если — локальные координаты на то (локально)

где компоненты определяются по отношению к ассоциированному координатному базису

(Отметим, что Интеграл от -формы А по ориентируемой -мерной поверхности определяется следующим образом:

где поверхность локально задана уравнениями

Фундаментальная теорема внешнего исчисления гласит

где — компактная -мерная поверхность с границей Иногда применяется обозначение

для ковариантной производной по направлению. Тогда выражение (4.2.31) для кривизны принимает вид

причем третье слагаемое в левой части необходимо и в том случае, когда кручение отсутствует.

Если есть пространство-время, то вместо мы используем символы причем в соответствии с правилами перехода к спинорам можно заменить а на на Таким образом, и определена действие соответствующих операторов на спинорные

величины (однозначно, если потребовать выполнения условия Следовательно, можно записать, например, уравнение Дирака — Вейля для (безмассового) нейтрино в виде