Роль дуальности в последовательностях момента

Отметим, что если фиксировать и 3-поверхность (с границей а величины и считать переменными, то обе части равенства (6.5.51) будут задавать линейные отображения (над полем действительных чисел) в пространство из соответствующих твисторных пространств, а именно: для это будет пространство а для — образ при отображении из Если будет конформным вектором Киллинга, то правая часть равенства (6.5.51) будет задавать отображение в определенное на всем пространстве При таких условиях отображение, вообще говоря, зависит от выбора объема (ограниченного фиксированной 2-поверхностью хотя в частном случае, когда такой зависимости нет.

Указанные отображения строятся с помощью элементов дуальных пространств (над а именно соответственно; при этом равенство (6.5.51) записывается в виде

[что совпадает с (6.5.16)], где — главная часть твистора — главная часть твистора (бесследового: Левой частью этого равенства определяется твистор момента импульса материи, заключенной в объеме (т. е. ограниченной поверхностью ), в виде интеграла по Если считать, что в правой части равенства (6.5.51) величина есть конформный вектор Киллинга, то мы получаем в виде интеграла по Т. В общем случае (когда выражение для зависит от выбора объема У (при фиксированной границе

Твисторы которые получаются таким образом, связаны друг с другом «калибровочным» преобразованием вида (6.3.14). Связь между которая следует из (6.5.53) [где теперь так что — вектор Киллинга, выражающийся через по формуле (6.5.25), откуда следует, что связаны между собой соотношением (6.5.15)], совпадает со стандартным выражением (6.3.13). При этом скалярные произведения в формуле (6.5.53) правильно описывают соотношение между последовательностями момента и дуальными им последовательностями [формула (6.5.38) и далее].

Полезно было бы выписать различные интегральные выражения для компонент твистора которые получаются сопоставлением равенств (6.5.51) и (6.5.53), однако здесь мы не будем заниматься анализом этих выражений. Общий множитель в равенстве (6.5.51) выбран так, чтобы обеспечивалось численное соответствие с равенством (6.5.53). Это легко проверить, выбрав в качестве генератор временных трансляций.